Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x²+1 no intervalo [1, 3] considerando n=10 e retângulos à direita.

Análise da Questão

Alternativa C

A questão solicita o uso da Regra dos Retângulos (também conhecida como Soma de Riemann) para aproximar o valor de uma integral definida. O método consiste em dividir a área sob a curva em retângulos e somar suas áreas.

Passo a Passo da Resolução

1. Definir os dados do problema:

• Função: f(x) = x^2 + 1
• Intervalo: [a, b] = [1, 3]
• Número de intervalos: n = 10
• Critério: Retângulos à direita (usamos o limite superior de cada subintervalo para calcular a altura).

2. Calcular a largura de cada retângulo (\Delta x):
A largura é dada pela divisão do tamanho total do intervalo pelo número de partes:
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = \frac{2}{10} = 0,2

3. Determinar os pontos de avaliação (x_i):
Como usamos o extremo direito, os pontos começam em a + \Delta x e vão até b:

• x_1 = 1,2
• x_2 = 1,4
• ...
• x_{10} = 3,0

4. Calcular a soma das áreas:
A aproximação é dada por:
\text{Área} \approx \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \cdot \Delta x
\text{Área} \approx 0,2 \cdot [f(1,2) + f(1,4) + ... + f(3,0)]

Calculando os valores de f(x) = x^2 + 1:

• f(1,2) = 1,44 + 1 = 2,44
• f(1,4) = 1,96 + 1 = 2,96
• f(1,6) = 2,56 + 1 = 3,56
• f(1,8) = 3,24 + 1 = 4,24
• f(2,0) = 4,00 + 1 = 5,00
• f(2,2) = 4,84 + 1 = 5,84
• f(2,4) = 5,76 + 1 = 6,76
• f(2,6) = 6,76 + 1 = 7,76
• f(2,8) = 7,84 + 1 = 8,84
• f(3,0) = 9,00 + 1 = 10,00

Somando as alturas:
\text{Soma} = 2,44 + 2,96 + 3,56 + 4,24 + 5,00 + 5,84 + 6,76 + 7,76 + 8,84 + 10,00 = 57,40

Multiplicando pela largura (\Delta x):
\text{Resultado} = 57,40 \times 0,2 = 11,48

Conclusão

O valor aproximado obtido pela regra dos retângulos à direita é 11,48, o que corresponde à Alternativa C.