Alternativa B - 5,55%
Para resolver este problema, precisamos seguir dois passos principais: primeiro, calcular a área aproximada usando o método de integração numérica solicitado; segundo, comparar esse resultado com o valor exato fornecido para encontrar o erro relativo.
Análise Detalhada
1. Cálculo da Integração Numérica (Soma de Riemann)
O problema pede para usar retângulos à direita. Isso significa que a altura de cada retângulo será determinada pelo valor da função no extremo direito de cada subintervalo.
- Intervalo: [1, 3]
- Número de intervalos (n): 10
- Largura de cada retângulo (\Delta x):
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = \frac{2}{10} = 0,2
Os pontos de amostragem (x_i) começam em a + \Delta x e vão até b, pois são retângulos à direita:
x_1 = 1,2, x_2 = 1,4, ..., x_{10} = 3,0.
A soma das áreas (S_{aprox}) é dada por:
S_{aprox} = \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \cdot \Delta x = \Delta x \cdot \sum_{i=1}^{10} (x_i^2 + 3)
Calculando a soma das alturas (f(x_i) = x_i^2 + 3):
- Soma dos quadrados (x_i^2): $1,44 + 1,96 + 2,56 + 3,24 + 4,00 + 4,84 + 5,76 + 6,76 + 7,84 + 9,00 = 47,40$
- Soma dos termos constantes (+3): $10 \times 3 = 30$
- Soma total das alturas: $47,40 + 30 = 77,40$
Agora, multiplicamos pela largura \Delta x:
S_{aprox} = 77,40 \cdot 0,2 = 15,48
2. Cálculo do Erro Relativo
Temos agora dois valores:
- Valor Aproximado: $15,48$
- Valor Exato: $44/3 \approx 14,6667$
A fórmula do erro relativo (E_r) é:
E_r = \left| \frac{\text{Valor Exato} - \text{Valor Aproximado}}{\text{Valor Exato}} \right| \times 100\%
Substituindo os valores:
- Diferença absoluta: |14,6667 - 15,48| = 0,8133
- Divisão pelo valor exato: \frac{0,8133}{14,6667} \approx 0,05545
- Conversão para porcentagem: $0,05545 \times 100\% \approx 5,55\%$
Isso confirma que a alternativa correta é a B.