Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=e^(2x) no intervalo [0, 2] considerando n=8 retângulos à direita.

Alternativa A

Para resolver esta questão, precisamos aplicar o método de Somas de Riemann (integração numérica). Observando as opções de resposta (valores próximos de 0,4), nota-se uma inconsistência direta no enunciado da imagem, onde a função está escrita como f(x) = e^{2x}.

Se utilizássemos f(x) = e^{2x} no intervalo [0, 2], o valor da integral seria aproximadamente 26,8, o que não corresponde a nenhuma alternativa. Portanto, para que as contas batam com as opções dadas, a função deve ser interpretada como $f(x) = e^{-2x}$ (exponencial decrescente), o que é comum em exercícios de cálculo quando há erros de digitação.

Passo a Passo do Cálculo

1. Definir os parâmetros:

• Função: f(x) = e^{-2x} (ajustado para compatibilidade com as alternativas)
• Intervalo: [a, b] = [0, 2]
• Número de subintervalos: n = 8
• Método: Retângulos à direita (usar o ponto final de cada subintervalo para a altura).

2. Calcular a largura de cada subintervalo (\Delta x):
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{8} = 0,25

3. Determinar os pontos de amostragem (x_i) e as alturas (f(x_i)):
Usaremos x_i = a + i \cdot \Delta x para i = 1 até $8$.

4. Calcular a área total (Soma de Riemann):
A fórmula é A \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x.

Primeiro somamos as alturas:
\text{Soma} \approx 0,6065 + 0,3679 + 0,2231 + 0,1353 + 0,0821 + 0,0498 + 0,0302 + 0,0183
\text{Soma} \approx 1,5132

Agora multiplicamos pela largura \Delta x:
A \approx 1,5132 \cdot 0,25
A \approx 0,3783

Arredondando para duas casas decimais, obtemos 0,38.

Análise Final

• O cálculo exato para a soma à direita com a função ajustada resulta em 0,3783.
• Esta valor coincide exatamente com a Alternativa A.
• A alternativa B (0,46) seria próxima do valor médio, mas a soma à direita em função decrescente sempre subestima a área real.
• A alternativa C (0,55) e D (0,76) são superiores ao valor real da integral exata (\approx 0,49), sendo impossíveis para este método específico.

Conclusão: A resposta correta é a Alternativa A, assumindo a correção implícita da função para e^{-2x}.