Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x²+1 no intervalo [1, 3] considerando n=10 e retângulos ao centro.

Alternativa C - 10,66

Introdução ao Método do Ponto Médio

Para resolver esta questão de cálculo, utilizaremos o Método dos Retângulos com Pontos Médios (também conhecido como Regra dos Pontos Centrais). Este método aproxima a área sob a curva somando as áreas de retângulos onde a altura é determinada pelo valor da função no centro de cada subintervalo.

Os dados fornecidos na questão são:

• Função: f(x) = x^2 + 1
• Intervalo: [a, b] = [1, 3]
• Número de subintervalos: n = 10

Passo a Passo do Cálculo

1. Cálculo da Largura (\Delta x)

Primeiro, determinamos a largura de cada subintervalo dividindo o tamanho total do intervalo pelo número de partes (n):

2. Determinação dos Pontos Médios (\bar{x}_i)

Dividimos o intervalo [1, 3] em 10 partes iguais de largura $0,2$. Os pontos médios são calculados encontrando o meio de cada subintervalo.

A sequência de pontos médios começa em $1 + \frac{0,2}{2} = 1,1$ e avança de $0,2$ em $0,2$:

• x_1 = 1,1
• x_2 = 1,3
• x_3 = 1,5
• x_4 = 1,7
• x_5 = 1,9
• x_6 = 2,1
• x_7 = 2,3
• x_8 = 2,5
• x_9 = 2,7
• x_{10} = 2,9

3. Avaliação da Função e Soma

Calculamos f(\bar{x}_i) = (\bar{x}_i)^2 + 1 para cada ponto e somamos os resultados:

A soma total dos valores da função é $53,30$.

4. Cálculo Final da Integral Aproximada

Multiplicamos a soma obtida pela largura de cada subintervalo (\Delta x):

Conclusão

O valor aproximado da integral utilizando o método dos retângulos ao centro com n=10 é 10,66.

Portanto, a alternativa correta é a C.