Alternativa D
Para resolver esta questão, precisamos seguir três etapas principais: calcular a largura dos subintervalos, determinar a área aproximada pela soma de Riemann à esquerda e, finalmente, calcular o erro relativo.
Passo a Passo da Resolução
1. Dados Iniciais
- Função: f(x) = x^2 + 3
- Intervalo: [a, b] = [1, 3]
- Número de retângulos (n): $10$
- Método: Retângulos à esquerda (usamos o ponto inicial de cada subintervalo).
- Valor Exato: $44/3$
2. Cálculo da Largura (\Delta x)
A largura de cada retângulo é dada pela diferença entre os limites do intervalo dividida pelo número de subintervalos:
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = \frac{2}{10} = 0,2
3. Cálculo da Integral Aproximada (I_{aprox})
Como usamos retângulos à esquerda, calculamos a altura da função nos pontos x_0 até x_9.
Os pontos são: $1,0; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2; 2,4; 2,6; 2,8$.
A soma das áreas é:
I_{aprox} = \Delta x \cdot \sum_{i=0}^{9} f(x_i)
Calculando os valores de f(x) = x^2 + 3 para cada ponto:
- f(1,0) = 4,00
- f(1,2) = 4,44
- f(1,4) = 4,96
- f(1,6) = 5,56
- f(1,8) = 6,24
- f(2,0) = 7,00
- f(2,2) = 7,84
- f(2,4) = 8,76
- f(2,6) = 9,76
- f(2,8) = 10,84
Somando as alturas:
\text{Soma} = 69,4
Multiplicando pela largura:
I_{aprox} = 69,4 \cdot 0,2 = 13,88
4. Cálculo do Erro Relativo
A fórmula do erro relativo percentual é:
E_{rel} (\%) = \left| \frac{\text{Valor Exato} - \text{Valor Aproximado}}{\text{Valor Exato}} \right| \cdot 100
Substituindo os valores (\text{Valor Exato} = 44/3 \approx 14,6667):
E_{rel} (\%) = \left| \frac{14,6667 - 13,88}{14,6667} \right| \cdot 100
E_{rel} (\%) = \frac{0,7867}{14,6667} \cdot 100 \approx 5,36\%
Análise
- Conceito Chave: Integração Numérica via Soma de Riemann.
- Atenção aos detalhes: O método de "retângulos à esquerda" significa que não incluímos o ponto final do intervalo (x=3) na soma das alturas.
- Precisão: O cálculo exato em frações confirma o resultado:
\frac{|44/3 - 13,88|}{44/3} \cdot 100 = \frac{59}{1100} \cdot 100 = \frac{59}{11} \% \approx 5,3636\%
A alternativa D corresponde exatamente ao valor encontrado.