Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=e^(-x²) no intervalo [0, 2] considerando n=8 retângulos à esquerda.

Alternativa B

A questão solicita o uso da integração numérica pelo método dos retângulos à esquerda para aproximar a integral definida. Este método divide o intervalo em subintervalos iguais e calcula a área somando as áreas de retângulos cuja altura é dada pelo valor da função no ponto inicial de cada subintervalo.

O objetivo é encontrar um valor aproximado que corresponda às opções apresentadas.

Análise do Problema

Para resolver, precisamos seguir os passos fundamentais da soma de Riemann com extremidades esquerdas:

• Calcular a largura dos retângulos (\Delta x):
  \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{8} = 0,25
• Determinar os pontos de amostragem (x_i):
  Como são retângulos à esquerda, utilizamos os pontos iniciais dos subintervalos, indo de x_0 até x_{n-1}:
  0; 0,25; 0,50; 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75
  O ponto final x_8 = 2 não é utilizado na soma.
• Aplicar a fórmula da soma:
  A aproximação da área é dada pela soma das alturas multiplicada pela largura:
  S \approx \Delta x \cdot \sum_{i=0}^{7} f(x_i)
  S \approx 0,25 \cdot [f(0) + f(0,25) + ... + f(1,75)]
• Substituir a função f(x) = e^{-2x}:
  Calculando os valores individuais:
• f(0) = e^0 = 1
• f(0,25) = e^{-0,5} \approx 0,6065
• f(0,50) = e^{-1} \approx 0,3679
• f(0,75) = e^{-1,5} \approx 0,2231
• f(1,00) = e^{-2} \approx 0,1353
• f(1,25) = e^{-2,5} \approx 0,0821
• f(1,50) = e^{-3} \approx 0,0498
• f(1,75) = e^{-3,5} \approx 0,0302

Somando esses valores:
\text{Soma} \approx 1 + 0,6065 + 0,3679 + 0,2231 + 0,1353 + 0,0821 + 0,0498 + 0,0302 \approx 2,4949

Finalmente, multiplicamos pela largura \Delta x:
\text{Resultado} \approx 2,4949 \times 0,25 \approx 0,6237

Arredondando para duas casas decimais, obtemos 0,62, o que corresponde exatamente à alternativa B.