Utilize integração numérica para obter um valor aproximado para a integral da função f(x)=x²+1 no intervalo [1, 3] considerando n=10 e retângulos à esquerda.

Alternativa A

Para resolver esta questão de integração numérica, utilizaremos o método da Soma de Riemann à Esquerda. Este método aproxima a área sob uma curva somando as áreas de retângulos onde a altura é determinada pelo valor da função no ponto inicial de cada subintervalo.

Passo a Passo do Cálculo

1. Determinação da largura dos retângulos (\Delta x)
A fórmula para a largura de cada subintervalo é dada por:
\Delta x = \frac{b - a}{n}
Onde:

• a = 1 (início do intervalo)
• b = 3 (fim do intervalo)
• n = 10 (número de retângulos)

Substituindo os valores:
\Delta x = \frac{3 - 1}{10} = \frac{2}{10} = 0.2

2. Identificação dos pontos de amostragem (x_i)
Como utilizamos retângulos à esquerda, selecionamos o primeiro ponto de cada intervalo até o penúltimo. Os pontos começam em a e aumentam de $0.2$ em $0.2$:

• x_0 = 1.0
• x_1 = 1.2
• x_2 = 1.4
• x_3 = 1.6
• x_4 = 1.8
• x_5 = 2.0
• x_6 = 2.2
• x_7 = 2.4
• x_8 = 2.6
• x_9 = 2.8

(Nota: Não usamos x_{10} = 3.0 pois seria o ponto final, caracterizando o lado direito).

3. Cálculo das alturas (f(x_i))
A função é f(x) = x^2 + 1. Calculamos o valor da função para cada ponto escolhido:

4. Soma das Áreas
A área total aproximada (A) é a soma das alturas multiplicada pela largura (\Delta x):
A \approx \Delta x \cdot \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)

Somando todas as alturas calculadas na tabela acima:
\text{Soma} = 2.00 + 2.44 + 2.96 + 3.56 + 4.24 + 5.00 + 5.84 + 6.76 + 7.76 + 8.84 = 49.4

Multiplicando pela largura (\Delta x = 0.2):
A \approx 0.2 \times 49.4 = 9.88

Conclusão

O valor aproximado da integral utilizando retângulos à esquerda é 9.88, o que corresponde exatamente à alternativa A.