Utilize o critério de Routh-Hurwitz para a estabilidade, e determine o número de polos instáveis da planta do sistema em malha aberta.

Alternativa 0 (Zero Polos Instáveis)

Para determinar o número de polos instáveis da planta em malha aberta apresentada, devemos analisar as raízes do denominador da função de transferência utilizando o Critério de Routh-Hurwitz.

1. Identificação da Equação Característica

A função de transferência da planta é dada por:
G(s) = \frac{5(s + 20)}{s(s^2 + 2s + 10)(s^2 + 6s + 10)}

Os polos do sistema são as raízes do polinômio característico D(s), que corresponde ao denominador:
D(s) = s(s^2 + 2s + 10)(s^2 + 6s + 10)

Primeiro, expandimos os termos quadráticos:
(s^2 + 2s + 10)(s^2 + 6s + 10) = s^4 + 8s^3 + 32s^2 + 80s + 100

Multiplicando pelo fator s restante, obtemos o polinômio completo:
D(s) = s^5 + 8s^4 + 32s^3 + 80s^2 + 100s

Note que não há termo constante (coeficiente de s^0 é zero), o que já indica um polo na origem (s=0).

2. Construção da Tabela de Routh

Organizamos os coeficientes do polinômio s^5 + 8s^4 + 32s^3 + 80s^2 + 100s + 0 na tabela de Routh:

Cálculos dos elementos:

• Linha s^3:
  a_1 = \frac{(8 \times 32) - (1 \times 80)}{8} = \frac{256 - 80}{8} = 22
  a_2 = \frac{(8 \times 100) - (1 \times 0)}{8} = 100
• Linha s^2:
  b_1 = \frac{(22 \times 80) - (8 \times 100)}{22} = \frac{1760 - 800}{22} \approx 43.6
• Linha s^1:
  c_1 = \frac{(43.6 \times 100) - (22 \times 0)}{43.6} = 100

3. Análise de Estabilidade

O Critério de Routh-Hurwitz determina a estabilidade analisando as mudanças de sinal na primeira coluna:

• Sinais observados: + (1), + (8), + (22), + (43.6), + (100), $0$.
• Mudanças de sinal: Nenhuma.

Como não há mudanças de sinal, não existem polos com parte real positiva (Semiplano Direito).

Observação sobre o polo na origem:
O valor zero na última linha da coluna principal (s^0) confirma a presença de um polo na origem (s=0), decorrente do fator s no denominador. Um polo simples no eixo imaginário caracteriza o sistema como marginalmente estável, mas tecnicamente não conta como um polo "instável" (que seria no semiplano direito).

Conclusão

Não há polos no semiplano direito (Re(s) > 0). Portanto, o número de polos instáveis é zero.