Verifique se a função z = sin(x + y) satisfaz a equação diferencial parcial ∂²z/∂x² + ∂²z/∂y² = 0.

Esta imagem contém uma lista de 15 exercícios de Cálculo Diferencial e Integral focada em Derivadas Parciais de 1ª Ordem. Como não há uma única questão delimitada, selecionaremos o Exercício 15 para demonstração prática, pois é um problema completo de verificação de equação diferencial parcial.

Resumo da Resposta
O Exercício 15 pede para verificar se a função z = \sin(x) - \sin(y) satisfaz a equação de Laplace \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0. Ao calcularmos as derivadas de segunda ordem e somá-las, concluímos que a expressão resultante não é igual a zero, logo, a função não satisfaz a equação.

Análise Detalhada

Para resolver este tipo de questão, precisamos dominar os conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia simples para funções trigonométricas.

1. Definição de Derivada Parcial: Quando derivamos em relação a uma variável (ex: x), tratamos as outras variáveis (ex: y) como constantes. O símbolo usado é \partial (parcial), diferente do d das derivadas ordinárias.
2. Derivadas de Seno e Cosseno:

• \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
• \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)

Vamos aplicar isso passo a passo ao Exercício 15:

• Função Original:
  z = \sin(x) - \sin(y)
• Passo 1: Derivada Parcial de 1ª ordem em relação a x (\frac{\partial z}{\partial x})
  Tratamos y como constante, então \sin(y) vira 0 na derivação.
  \frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x)
• Passo 2: Derivada Parcial de 2ª ordem em relação a x (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2})
  Derivamos \cos(x) novamente em relação a x.
  \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\sin(x)
• Passo 3: Derivada Parcial de 1ª ordem em relação a y (\frac{\partial z}{\partial y})
  Tratamos x como constante, então \sin(x) vira 0 na derivação. A derivada de -\sin(y) é -\cos(y).
  \frac{\partial z}{\partial y} = -\cos(y)
• Passo 4: Derivada Parcial de 2ª ordem em relação a y (\frac{\partial^2 z}{\partial y^2})
  Derivamos -\cos(y) novamente em relação a y. Lembre-se que a derivada do cosseno é menos seno, e já havia um sinal negativo.
  \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -(-\sin(y)) = \sin(y)
• Passo 5: Verificação da Equação
  Substituímos os resultados na equação proposta:
  \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = (-\sin(x)) + (\sin(y))
  = \sin(y) - \sin(x)

Como \sin(y) - \sin(x) não é necessariamente igual a $0$ (só seria zero se x = y + 2k\pi ou similar), a igualdade não se mantém para todos os valores reais.

Conclusão

A análise matemática confirma que a função z = \sin(x) - \sin(y) não satisfaz a equação diferencial parcial apresentada no exercício 15. Este exercício serve para treinar o cálculo de derivadas sucessivas e a aplicação de operadores diferenciais em funções de múltiplas variáveis.