Alternativa A - R$10.615,20
Para resolver esta questão de Matemática Financeira, é fundamental compreender como converter taxas nomiais e aplicar a fórmula de juros compostos corretamente.
Análise do Problema
O enunciado apresenta os seguintes dados:
- Capital Inicial ($C$): R$ 10.000,00
- Taxa Nominal Anual ($i_{ano}$): 12% ao ano
- Tempo ($n$): 6 meses
O desafio principal aqui é a unidade de tempo. A taxa está dada em anos, mas o prazo do empréstimo está em meses.
Passo 1: Homogeneização da Taxa
Em operações bancárias, quando uma taxa é apresentada "ao ano" sem especificar o regime de capitalização, ela é tratada como uma taxa nominal. Para utilizá-la com prazos mensais, devemos dividir a taxa anual pela quantidade de meses no ano (capitalização simples da taxa nominal).
- Taxa mensal ($i$) = $\frac{12\%}{12 \text{ meses}} = 1\% \text{ ao mês}$
- Em forma decimal: $i = 0,01$
Passo 2: Aplicação da Fórmula de Juros Compostos
A fórmula básica para montante ($M$) em juros compostos é:
$$M = C \cdot (1 + i)^n$$
Onde:
- $C = 10.000$
- $i = 0,01$ (taxa mensal)
- $n = 6$ (tempo em meses)
Substituindo os valores:
$$M = 10.000 \cdot (1 + 0,01)^6$$
$$M = 10.000 \cdot (1,01)^6$$
Passo 3: Cálculo Final
Calculando a potência $(1,01)^6$:
$$(1,01)^6 \approx 1,06152015$$
Multiplicando pelo capital inicial:
$$M = 10.000 \cdot 1,06152015$$
$$M = 10.615,2015...$$
Arredondando para a casa decimal correspondente aos centavos, temos R$ 10.615,20.
Conclusão
A dívida total a ser paga ao final do período é de R$ 10.615,20, o que corresponde à Alternativa A.