Resolução Didática
Esta questão trata de Tacheometria, método de levantamento topográfico que utiliza ângulos e distâncias medidas por instrumentos ópticos (teodolitos ou taquímetros) para determinar coordenadas planimétricas e altimétricas.
1. Análise dos Dados Fornecidos
- Leitura do Fio Superior (FS): $2,050$ m
- Leitura do Fio Inferior (FI): $1,750$ m
- Estacamento (S): Diferença entre FS e FI.
S = 2,050 - 1,750 = 0,300 \text{ m} - Ângulo Zenital (\phi): $87,5^\circ$
2. Cálculo da Distância Vertical (DN)
A fórmula geral para a Distância Vertical (DV ou DN) em tacheometria é:
DN = 100 \cdot S \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)
Onde \alpha é o ângulo de inclinação. Como o dado fornecido é o ângulo Zenital (\phi), precisamos convertê-lo:
\alpha = 90^\circ - \phi
\alpha = 90^\circ - 87,5^\circ = 2,5^\circ
Substituindo na fórmula:
DN = 100 \cdot 0,300 \cdot \sin(2,5^\circ) \cdot \cos(2,5^\circ)
DN = 30 \cdot 0,0436 \cdot 0,999 \approx 1,307 \text{ m}
Verificação do Sinal (Ativo ou Passivo):
- Se o ângulo Zenital for menor que 90º (\phi < 90^\circ), a mira está acima do horizonte (elevação). Isso resulta em uma Diferença de Nível Positiva (+), chamada de Ativo.
- Se fosse maior que 90º, seria negativo (declive).
- Como $87,5^\circ < 90^\circ$, temos DN = +1,307 m (Ativo).
Isso elimina as alternativas B e C.
3. Cálculo da Distância Horizontal (DH)
A fórmula para a Distância Horizontal é:
DH = 100 \cdot S \cdot \cos^2(\alpha)
Sabendo que \cos^2(\alpha) é sempre um número menor que 1 (para ângulos diferentes de 0), a Distância Horizontal resultante deve ser menor que a distância bruta ($100 \cdot S = 30$ m).
- Valor Bruto: $30$ m
- Valor Real (DH): Deve ser ligeiramente menor que $30$ m.
Analisando as opções restantes (A e D):
- (A) DH = 29,991 m (Lógico, pois $29,991 < 30$)
- (D) DH = 30,056 m (Impossível geometricamente neste contexto, pois seria maior que a bruta)
Portanto, a única combinação coerente com a matemática topográfica é a que apresenta DH < 30 e DN positivo.
Análise Final
- Estacamento (S): $0,300$ m
- Inclinação (\alpha): $2,5^\circ$ (Elevação)
- DN: +1,307 m (Ativo)
- DH: \approx 29,991 m (Projeção menor que a bruta)
Alternativa A