Dado o paralelepípedo ABCDEFGH. Sendo $ar{u} = ar{AB}$; $ar{v} = ar{AD}$ e $ar{w} = ar{AE}$, expresse $ar{AG}$ e $ar{EC}$ em função de $ar{u}$; $ar{v}$ e $ar{w}$.

Resolução da Questão de Geometria Vetorial

Resumo da Resposta

Os vetores solicitados são expressos como:
\overrightarrow{AG} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}
\overrightarrow{EC} = \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}

Desenvolvimento Didático

Para resolver este problema, utilizamos as propriedades de adição de vetores e as características geométricas de um paralelepípedo.

1. Entendendo os Vetores Base

O problema fornece três vetores que representam as arestas partindo do vértice A:

• \vec{u} = \overrightarrow{AB} (comprimento)
• \vec{v} = \overrightarrow{AD} (largura/profundidade)
• \vec{w} = \overrightarrow{AE} (altura)

Em um paralelepípedo, as arestas opostas são iguais em módulo, direção e sentido. Isso significa que podemos substituir um vetor por outro paralelo a ele ao longo do caminho desejado.

2. Expressando o vetor \overrightarrow{AG}

O vetor \overrightarrow{AG} representa a diagonal principal do paralelepípedo, indo do canto inferior esquerdo (A) ao canto superior direito oposto (G).

Podemos decompor esse deslocamento somando os vetores das arestas que formam o caminho:
\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}

Analisando cada termo:

• \overrightarrow{AB} = \vec{u} (dado)
• \overrightarrow{BC} é paralelo e igual a \overrightarrow{AD}, logo \overrightarrow{BC} = \vec{v}
• \overrightarrow{CG} é paralelo e igual a \overrightarrow{AE}, logo \overrightarrow{CG} = \vec{w}

Somando-os:
\overrightarrow{AG} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}

3. Expressando o vetor \overrightarrow{EC}

O vetor \overrightarrow{EC} vai do vértice E (topo) até o vértice C (base). Precisamos encontrar um caminho que conecte esses pontos usando as arestas conhecidas.

Um caminho eficiente é: E \to A \to B \to C.
\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

Analisando cada termo:

• \overrightarrow{EA} é o vetor inverso de \overrightarrow{AE}, portanto \overrightarrow{EA} = -\vec{w}
• \overrightarrow{AB} = \vec{u} (dado)
• \overrightarrow{BC} = \vec{v} (pois é igual a \overrightarrow{AD})

Somando-os:
\overrightarrow{EC} = -\vec{w} + \vec{u} + \vec{v}
Reordenando para ficar organizado:
\overrightarrow{EC} = \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}

## Análise Final

| **\overrightarrow{EC}$** | Deslocamento horizontal + altura invertida | $\vec{u} + \vec{v} - \vec{w} |