Dados os pontos A (x₁; y₁); B (x₂; y₂) e o vetor $\overline{AB}$ Mostrar que: $AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁)$

Resumo da resposta em 1-2 frases

Para demonstrar o vetor \overline{AB}, subtraímos as coordenadas do ponto inicial A das coordenadas do ponto final B, resultando na fórmula \overline{AB} = (x_2 - x_1 ; y_2 - y_1). Esta relação deriva da propriedade fundamental de vetores livres onde o deslocamento é a diferença entre os vetores posição.

Justificativa Didática

O cálculo de um vetor dados dois pontos no plano cartesiano baseia-se na ideia de deslocamento. Imagine que você está no ponto A e deseja ir até o ponto B. Você precisa percorrer uma certa distância na horizontal e outra na vertical para chegar ao destino.

Matematicamente, isso é tratado através dos vetores posição. Se considerarmos a origem O(0,0), temos:

• O vetor que vai de O até A: \vec{OA} = (x_1 ; y_1)
• O vetor que vai de O até B: \vec{OB} = (x_2 ; y_2)

Pela regra da adição de vetores (triângulo vetorial), sabemos que \vec{OA} + \overline{AB} = \vec{OB}. Isolando o vetor desejado, obtemos \overline{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}. Ao subtrairmos componente por componente, chegamos à fórmula pedida.

Análise

• Conceito de Vetor Posição: Cada ponto pode ser visto como um vetor que parte da origem (0,0) até aquele ponto específico.
• Regra da Subtração: Para encontrar o vetor que liga dois pontos, subtraímos sempre as coordenadas do ponto de partida das coordenadas do ponto de chegada.
• Cálculo Horizontal: A variação no eixo x é dada pela diferença x_2 - x_1 (coordenada final menos coordenada inicial).
• Cálculo Vertical: A variação no eixo y é dada pela diferença y_2 - y_1.
• Representação Gráfica: Na figura, observe as linhas tracejadas que formam um triângulo retângulo auxiliar. Os catetos desse triângulo representam exatamente as diferenças x_2 - x_1 e y_2 - y_1.

Conclusão

A demonstração confirma que as coordenadas de um vetor definido por dois pontos são obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.