Dados os vetores: u, v, w, onde s é a resultante do sistema vetorial. Mostrar que ( u + v ) + w = u + ( v + w) e mostrar que a resultante do sistema vetorial s = u + v + w

Resumo da Resposta: A questão requer a demonstração geométrica da propriedade associativa da adição de vetores e a confirmação de que o vetor resultante de um sistema em cadeia é a soma direta de seus componentes.

Fundamentação Teórica

Para resolver este exercício, é necessário compreender como vetores são somados geometricamente. O método utilizado é o Método do Polígono (ou cabeça-cauda), onde a origem do segundo vetor coincide com a extremidade do primeiro.

No sistema apresentado:

1. O vetor \vec{u} inicia em um ponto e termina na origem de \vec{v}.
2. O vetor \vec{v} termina na origem de \vec{w}.
3. O vetor \vec{w} finaliza o caminho.

Análise Detalhada

• Propriedade Associativa (Item a):
  A igualdade (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) demonstra que a ordem de agrupamento não altera o resultado final.
• Lado Esquerdo: Calculamos primeiro \vec{u} + \vec{v}. Isso gera um vetor intermediário que vai do início de \vec{u} até o fim de \vec{v}. Somando \vec{w} a isso, chegamos ao fim de \vec{w}.
• Lado Direito: Calculamos primeiro \vec{v} + \vec{w}. Isso gera um vetor do início de \vec{v} até o fim de \vec{w}. Somando \vec{u} a isso, também chegamos ao fim de \vec{w}.
• Conclusão: Ambos os caminhos percorrem os mesmos pontos finais, resultando no mesmo vetor deslocação.
• Vetor Resultante (Item b):
  A resultante \vec{s} é definida como o vetor único que substitui todos os outros sem alterar o efeito do sistema.
• Pela regra da adição vetorial sucessiva, a soma \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} resulta em um vetor que parte da origem do primeiro vetor (\vec{u}) e termina na extremidade do último vetor (\vec{w}).
• Portanto, matematicamente e geometricamente:
  \vec{s} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}

Verificação Final

A igualdade proposta está correta e fundamentada nas propriedades fundamentais da álgebra vetorial.