Determine a equação das retas assíntotas da hipérbole vertical de centro em (2, 2), excentricidade 2 e eixo imaginário valendo 6.

Alternativa C

Para encontrar as equações das assíntotas da hipérbole vertical, precisamos determinar os parâmetros geométricos (a e b) e aplicar a fórmula específica para esse tipo de cônica.

Cálculo dos Parâmetros

1. Dados fornecidos:

• Centro (h, k) = (2, 2)
• Eixo imaginário $2b = 6 \Rightarrow b = 3$
• Excentricidade e = 2
• Orientação: Vertical

1. Relação Fundamental:
   Na hipérbole, vale a relação c^2 = a^2 + b^2.
   Sabemos também que a excentricidade é dada por e = \frac{c}{a}.

Como e = 2, temos c = 2a. Substituindo na relação fundamental:
(2a)^2 = a^2 + b^2
4a^2 = a^2 + 3^2
3a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3}

Equações das Assíntotas

Para uma hipérbole vertical, as equações das assíntotas são dadas por:
y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)

Substituindo os valores encontrados (a=\sqrt{3}, b=3, h=2, k=2):
y - 2 = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2)

Vamos converter essas equações para a forma geral (Ax + By + C = 0):

• Retas 1 (com sinal positivo):
  y - 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2)
  Multiplicando tudo por 3:
  3y - 6 = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}
  Arrumando os termos:
  \sqrt{3}x - 3y + 6 - 2\sqrt{3} = 0
  Dividindo por \sqrt{3} para simplificar (como visto nas alternativas):
  x - \sqrt{3}y + \frac{6}{\sqrt{3}} - 2 = 0
  x - \sqrt{3}y + (2\sqrt{3} - 2) = 0
  (Esta equação corresponde exatamente à primeira parte da alternativa C)
• Retas 2 (com sinal negativo):
  y - 2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 2)
  Multiplicando por 3:
  3y - 6 = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}
  Arrumando os termos:
  \sqrt{3}x + 3y - 6 - 2\sqrt{3} = 0
  Dividindo por \sqrt{3}:
  x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} - 2 = 0
  x + \sqrt{3}y - (2\sqrt{3} + 2) = 0

Análise das Alternativas

Comparando nossos resultados com as opções apresentadas na imagem:

A Alternativa C é a única que apresenta a inclinação correta (\pm \frac{\sqrt{3}}{3}) e a primeira equação perfeitamente calculada. Nota-se que há uma pequena inconsistência no sinal do termo independente da segunda equação na imagem da alternativa C (está escrito + onde deveria ser -), mas é indiscutivelmente a resposta correta entre as opções, pois nenhuma outra possui a estrutura algébrica correta para as assíntotas desta hipérbole.

Alternativa C.