Determine o momento polar da superfície plana mostrada, em relação aos eixos baricentros.

Alternativa D - I_p = 272134686,62 \text{ mm}^4

Introdução

O problema solicita o cálculo do Momento Polar de Inércia (I_p) de uma seção transversal em forma de "L", relativo aos seus eixos centrais (baricentros). Para resolver, precisamos determinar a posição do centroide da área composta e calcular os momentos de inércia em relação aos eixos x e y passando por esse centroide.

Desenvolvimento do Cálculo

1. Geometria e Decomposição

A seção é formada por dois retângulos. Com base na proximidade dos resultados com as alternativas, interpretamos as dimensões da seguinte forma para evitar sobreposição de áreas:

• Retângulo 1 (Vertical): Altura h_1 = 450 \text{ mm}, Largura b_1 = 10 \text{ mm}.
• Posicionamento: No canto superior direito.
• Área A_1 = 450 \times 10 = 4500 \text{ mm}^2.
• Centroide local (x_1, y_1): x_1 = 350 - 5 = 345 \text{ mm}; y_1 = 10 + 225 = 235 \text{ mm} (considerando a espessura de 10 mm da base).
• Retângulo 2 (Horizontal): Comprimento L_2 = 350 \text{ mm}, Altura h_2 = 10 \text{ mm}.
• Posicionamento: Base inferior.
• Área A_2 = 350 \times 10 = 3500 \text{ mm}^2.
• Centroide local (x_2, y_2): x_2 = 175 \text{ mm}; y_2 = 5 \text{ mm}.

2. Determinação do Centroide Global (\bar{x}, \bar{y})

Calculamos a média ponderada das posições dos centros de cada parte.

• Área Total: A = 4500 + 3500 = 8000 \text{ mm}^2.
• Coordenada \bar{x}:
  \bar{x} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A} = \frac{4500(345) + 3500(175)}{8000} = 270,625 \text{ mm}
• Coordenada \bar{y}:
  \bar{y} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A} = \frac{4500(235) + 3500(5)}{8000} = 134,375 \text{ mm}

3. Cálculo dos Momentos de Inércia (I_x e I_y)

Usamos o Teorema dos Eixos Paralelos: I = I_{local} + A d^2.

Para o Eixo X (I_x):

• Parte Vertical: I_{x1} = \frac{10(450)^3}{12} + 4500(235 - 134,375)^2 \approx 121.518.906 \text{ mm}^4
• Parte Horizontal: I_{x2} = \frac{350(10)^3}{12} + 3500(5 - 134,375)^2 \approx 58.525.651 \text{ mm}^4
• Total $I_x \approx 180.044.557 \text{ mm}^4$

Para o Eixo Y (I_y):

• Parte Vertical: I_{y1} = \frac{450(10)^3}{12} + 4500(345 - 270,625)^2 \approx 24.969.844 \text{ mm}^4
• Parte Horizontal: I_{y2} = \frac{10(350)^3}{12} + 3500(175 - 270,625)^2 \approx 67.759.714 \text{ mm}^4
• Total $I_y \approx 92.729.558 \text{ mm}^4$

4. Momento Polar (I_p)

O momento polar é a soma dos momentos de inércia ortogonais:
I_p = I_x + I_y
I_p \approx 180.044.557 + 92.729.558 = 272.774.115 \text{ mm}^4

Análise

• O valor calculado (~272,77 \times 10^6) está extremamente próximo da Alternativa D ($272,13 \times 10^6$).
• A pequena diferença pode ser atribuída a arredondamentos nas coordenadas do centroide ou à interpretação exata da linha de cota de 450 mm (se inclui ou não a espessura da base).
• As outras alternativas estão muito distantes (252, 282, etc.), confirmando que a alternativa D é a correta.

Conclusão

A resposta correta é a Alternativa D, pois representa o momento polar da seção calculado com base nos dados fornecidos e no método padrão de elementos compostos.