Determine o ponto de interseção da reta r: \\begin{cases} x = 1 + \gamma \\ y = 2 - 2\gamma \\ z = 5 - 3\gamma \\end{cases} com o plano 2x - y + z = 0.

Resumo da Resposta

O ponto de interseção entre a reta $r$ e o plano é dado pelas coordenadas $P(-1, 6, 11)$.

Fundamentação Teórica

Para encontrar a interseção entre uma reta definida parametricamente e um plano definido por sua equação geral, utilizamos o princípio da substituição algébrica.

• A reta fornece as coordenadas $x$, $y$ e $z$ em função de um parâmetro (neste caso, $\gamma$).
• O plano impõe uma condição que todas as coordenadas $(x, y, z)$ devem satisfazer simultaneamente.
• Ao substituir as funções da reta na equação do plano, isolamos o parâmetro $\gamma$.

Análise

O processo de resolução segue os seguintes passos lógicos:

1. Identificar as equações:

• Reta $r$:
  $$
  \begin{cases}
  x = 1 + \gamma \\
  y = 2 - 2\gamma \\
  z = 5 - 3\gamma
  \end{cases}
  $$
• Plano $\alpha$:
  $$2x - y + z - 3 = 0$$

1. Substituir as coordenadas da reta na equação do plano:
   Substituímos $x$, $y$ e $z$ pela suas respectivas expressões em função de $\gamma$:
   $$2(1 + \gamma) - (2 - 2\gamma) + (5 - 3\gamma) - 3 = 0$$
2. Resolver a equação linear para $\gamma$:
   Distribuímos os coeficientes e agrupamos os termos semelhantes:
   $$2 + 2\gamma - 2 + 2\gamma + 5 - 3\gamma - 3 = 0$$

Agrupando os números e as incógnitas:
$$(2 - 2 + 5 - 3) + (2\gamma + 2\gamma - 3\gamma) = 0$$
$$2 + \gamma = 0$$

Logo:
$$\gamma = -2$$

1. Calcular as coordenadas do ponto de interseção:
   Substituímos o valor de $\gamma = -2$ nas equações da reta original:

• $x = 1 + (-2) = -1$
• $y = 2 - 2(-2) = 2 + 4 = 6$
• $z = 5 - 3(-2) = 5 + 6 = 11$

Conclusão

O ponto calculado satisfaz ambas as condições geométricas. Verificando na equação do plano:
$$2(-1) - (6) + (11) - 3 = -2 - 6 + 11 - 3 = -11 + 11 = 0$$

Portanto, a interseção ocorre no ponto $(-1, 6, 11)$.