Determine o ponto de interseção das retas: p : x = 1 + 3t, y = 2 − 2t, t ∈ R q : x = −2 − 6t, y = 4 + 4t, t ∈ R r : 2x − 5y − 3 = 0 s : 2x + 3y − 4 = 0

Análise Geométrica de Retas no Plano

Identificação dos Dados

Temos quatro retas definidas por equações diferentes:

Visualização das Relações

Para determinar se as retas são paralelas, concorrentes ou coincidentes, comparamos seus coeficientes angulares (inclinações):

Passo 1: Calcular os coeficientes angulares

Retas p e q (forma paramétrica):
A inclinação é dada pelo quociente entre o coeficiente de t em y e em x:

Retas r e s (forma geral ax + by + c = 0):
Isolando y para encontrar a forma reduzida:

Passo 2: Comparar inclinações

Passo 3: Verificar coincidências

Para verificar se retas paralelas são coincidentes, verifico se um ponto de uma pertence à outra:

Verificando se p e s são coincidentes:
Ponto de p quando t = 0: (1, 2)

Substituindo na equação de s:
2(1) + 3(2) - 4 = 2 + 6 - 4 = 4 \neq 0

Portanto, p e s são paralelas distintas.

## Análise

• Retas p, q e s têm o mesmo coeficiente angular (-\frac{2}{3}), formando um conjunto de retas paralelas distintas
• Reta r tem coeficiente angular diferente (\frac{2}{5}), sendo concorrente com todas as outras
• Não há interseção entre p, q e s entre si
• A reta r intercepta cada uma das outras três retas em pontos distintos

Conclusão

As retas p, q e s são paralelas entre si, enquanto a reta r é concorrente com todas elas. Sem opções específicas de múltipla escolha, esta é a análise geométrica completa possível.

Se o objetivo fosse encontrar o ponto de interseção entre r e s:

Subtraindo as equações: -8y + 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{8}

Substituindo: 2x + 3(\frac{1}{8}) - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{29}{16}

Ponto de interseção r ∩ s = (\frac{29}{16}, \frac{1}{8})