Encontre o valor de $a$ para a equação da elipse dada por $4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$, com $b = 2$ e $c = \sqrt{5}$.

Alternativa C

Para encontrar o valor de a, precisamos transformar a equação geral da elipse fornecida em sua equação reduzida (ou canônica), que segue o padrão:

Abaixo estão os passos detalhados para resolver a questão:

Passos da Resolução

1. Isolar o termo constante:
   Começamos movendo o número -36 para o outro lado da igualdade.
   4x^2 + 9y^2 = 36
2. Normalizar a equação:
   Para obter o valor $1$ no lado direito, dividimos toda a equação pelo termo independente, que é $36$.
   \frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = \frac{36}{36}
3. Simplificar as frações:
   Reduzimos os termos para identificar os denominadores, que representam os quadrados dos semi-eixos (a^2 e b^2).

• Primeiro termo: \frac{4}{36} simplifica para \frac{1}{9}, resultando em \frac{x^2}{9}.
• Segundo termo: \frac{9}{36} simplifica para \frac{1}{4}, resultando em \frac{y^2}{4}.

A equação fica:
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1

1. Identificar os valores de a e b:
   Comparando com a forma reduzida \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1:

• a^2 = 9 \Rightarrow a = 3
• b^2 = 4 \Rightarrow b = 2

## Análise Complementar

O enunciado forneceu informações extras que servem para confirmar nossa resposta:

• Foi dito que b = 2: Confere com nosso cálculo (b^2 = 4).
• Foi dito que c = \sqrt{5}: Em elipses, a relação entre os semi-eixos e a distância focal é dada por c^2 = a^2 - b^2 (assumindo a > b).
  c^2 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5}
  A informação também confere perfeitamente.

Portanto, o valor procurado para a é 3.

Alternativa C.