Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 17 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, podemos afirmar que a medida da altura relativa à hipotenusa vale:

Resolução da Questão

Dados do Problema:

• Figura geométrica: Triângulo Retângulo.
• Medida da hipotenusa (c): $17\text{ cm}$.
• Medida de um cateto (a): $8\text{ cm}$.
• Incógnita: Medida da altura relativa à hipotenusa (h).

Desenvolvimento do Cálculo

1. Visualização e Modelagem

Primeiro, imaginamos o triângulo retângulo. Temos a base inclinada (hipotenusa) e precisamos encontrar a distância perpendicular deste vértice até a base. Para isso, precisamos conhecer todos os lados ou utilizar relações específicas entre eles.

2. Encontrar o Segundo Cateto

Utilizamos o Teorema de Pitágoras, que afirma que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:

Substituindo os valores conhecidos (c = 17 e a = 8):

Calculando os quadrados:

Isolando b^2:

Extraindo a raiz quadrada para achar b:

Portanto, os catetos medem **$8\text{ cm}** e **$15\text{ cm}$**. Este é um terno pitagórico clássico ($8, 15, 17).

3. Calcular a Altura Relativa à Hipotenusa

A área de um triângulo pode ser calculada de duas formas equivalentes neste caso:

1. Usando os catetos como base e altura: A = \frac{a \times b}{2}
2. Usando a hipotenusa como base e a altura h correspondente: A = \frac{c \times h}{2}

Igualando as duas expressões para a área, obtemos a fórmula fundamental das relações métricas no triângulo retângulo:

Isolando h:

Substituindo os valores (a=8, b=15, c=17):

Convertendo para número decimal aproximado:

Análise

• Terno Pitagórico: Reconhecer que $8, 15, 17$ forma um terno pitagórico agiliza o cálculo, pois elimina a necessidade de calcular raízes complexas.
• Relação Métrica: A fórmula a \cdot b = c \cdot h é derivada da conservação da área do triângulo. É essencial memorizar esta relação para resolver problemas de altura rapidamente.
• Unidade de Medida: Todas as medidas estão em centímetros (\text{cm}), então o resultado também estará em \text{cm}.

Conclusão

A medida da altura relativa à hipotenusa é exatamente \frac{120}{17}\text{ cm} ou aproximadamente $7,06\text{ cm}$.

Se esta questão faz parte de uma prova com múltipla escolha, procure pela alternativa que contenha o valor \frac{120}{17} ou sua aproximação decimal.