O triângulo ABC é retângulo em B e os segmentos BD e AC são perpendiculares. Assim, a medida do segmento DC vale

Alternativa C - \frac{15}{2}

Para resolver esta questão de geometria plana, precisamos analisar as propriedades dos triângulos retângulos apresentados na figura.

Análise do Problema

Temos as seguintes informações dadas no enunciado e na figura:

• O triângulo ABC é retângulo em B (\angle ABC = 90^\circ).
• O segmento BD é perpendicular à hipotenusa AC (BD \perp AC), formando o triângulo BDC retângulo em D.
• O ângulo A mede $60^\circ$.
• O lado BC (um cateto do triângulo maior) mede $5\sqrt{3}$.

Precisamos encontrar o valor do segmento DC.

Passo a Passo da Resolução

1. Determinar a medida do ângulo C

No triângulo retângulo ABC, a soma dos ângulos internos deve ser $180^\circ$. Como temos um ângulo de $90^\circ$ e outro de $60^\circ$:
\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ

2. Resolver o triângulo retângulo BDC

Agora focamos no pequeno triângulo BDC, que é retângulo em D.

• Conhecemos a hipotenusa deste triângulo: BC = 5\sqrt{3}.
• Conhecemos o ângulo interno C = 30^\circ.
• Queremos encontrar o cateto adjacente ao ângulo C, que é o segmento DC.

Utilizamos a função trigonométrica cosseno, definida como a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
\cos(C) = \frac{\text{Cateto Adjacente}}{\text{Hipotenusa}}

Substituindo os valores:
\cos(30^\circ) = \frac{DC}{BC}

Sabemos que \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. Portanto:
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{DC}{5\sqrt{3}}

Isolando DC:
DC = 5\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}
DC = \frac{5 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})}{2}
DC = \frac{5 \times 3}{2}
DC = \frac{15}{2}

Alternativa Comparativa

A alternativa correta é a C.