Os dois retângulos a seguir possuem a mesma área. O valor de x que satisfaz a situação é

Para encontrar o valor de x, precisamos utilizar a propriedade informada no enunciado: as áreas dos dois retângulos são iguais.

A área de um retângulo é calculada pela fórmula:
\text{Área} = \text{base} \times \text{altura}

Análise

Vamos calcular a área de cada retângulo separadamente e depois igualá-las.

1. Área do primeiro retângulo (A_1):

• Base: x + 1
• Altura: $2x$
• A_1 = (x + 1) \cdot 2x
• A_1 = 2x^2 + 2x

1. Área do segundo retângulo (A_2):

• Base: x + 2
• Altura: x + 1
• A_2 = (x + 2) \cdot (x + 1)
• Utilizando a propriedade distributiva:
• A_2 = x^2 + x + 2x + 2
• A_2 = x^2 + 3x + 2

1. Igualando as áreas (A_1 = A_2):

• 2x^2 + 2x = x^2 + 3x + 2
• Vamos passar todos os termos para o lado esquerdo para formar uma equação do segundo grau igual a zero:
• 2x^2 - x^2 + 2x - 3x - 2 = 0
• x^2 - x - 2 = 0

1. Resolvendo a equação quadrática:

• Podemos resolver por fatoração ou fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fatoração buscando dois números que multiplicados resultem em -2 e somados resultem em -1. Esses números são -2 e +1.
• (x - 2)(x + 1) = 0
• As raízes são x' = 2 e x'' = -1.

1. Verificação da validade geométrica:

• Em geometria, medidas de comprimento não podem ser negativas.
• Se x = -1, a altura do primeiro retângulo seria $2(-1) = -2$ (impossível).
• Portanto, descartamos x = -1 e aceitamos $x = 2$.

Confirmando com x = 2:

• Retângulo 1: Base $3$, Altura $4$ \rightarrow Área $12$.
• Retângulo 2: Base $4$, Altura $3$ \rightarrow Área $12$.
  As áreas são iguais.

Considerando a ordem das opções apresentadas na imagem (de cima para baixo):

Assumindo a convenção padrão de múltipla escolha (A, B, C, D) para as linhas da imagem:

Alternativa C