Matemática — Geometria Múltipla Escolha

Quais expressões representam o comprimento do lado BC?

Quais expressões representam o comprimento do lado BC?

  1. 6 * sen(55°)
  2. 6 * sen(35°)
  3. 6 * cos(55°)
  4. 6 * cos(35°)

Resolução completa

Explicação passo a passo

C
Alternativa C

Alternativas B e C

O problema apresenta um triângulo retângulo onde precisamos encontrar o comprimento do cateto adjacente ao ângulo de $55^\circ$ (lado \overline{BC}) ou oposto ao ângulo complementar (lado \overline{BC} relativo ao ângulo A).

Análise Geométrica:

  1. Identificação dos elementos:
  • Hipotenusa (\overline{AB}): $6$
  • Ângulo em B: $55^\circ$
  • Ângulo reto em C: $90^\circ$
  • Lado desejado: \overline{BC} (cateto adjacente a B)
  1. Método 1 - Usando o ângulo B ($55^\circ$):
  • O lado \overline{BC} é o cateto adjacente ao ângulo B.
  • A relação trigonométrica para o adjacente é o cosseno.
  • Fórmula: \cos(\theta) = \frac{\text{Adjacente}}{\text{Hipotenusa}}
  • Substituindo: \cos(55^\circ) = \frac{BC}{6} \Rightarrow BC = 6 \cdot \cos(55^\circ)
  • Isso confirma a Alternativa C.
  1. Método 2 - Usando o ângulo A ($35^\circ$):
  • Como os agudos de um triângulo retângulo são complementares: A = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ.
  • Relativo ao ângulo A, o lado \overline{BC} é o cateto oposto.
  • A relação trigonométrica para o oposto é o seno.
  • Fórmula: \sin(\theta) = \frac{\text{Oposto}}{\text{Hipotenusa}}
  • Substituindo: \sin(35^\circ) = \frac{BC}{6} \Rightarrow BC = 6 \cdot \sin(35^\circ)
  • Isso confirma a Alternativa B.

Comparação das Opções:

OpçãoExpressãoSignificado GeométricoCorreta?
A$6 \cdot \sin(55^\circ)$Calcula o cateto oposto a B (lado \overline{AC})Não
B**$6 \cdot \sin(35^\circ)** | Calcula o cateto oposto a $A (lado \overline{BC})Sim
C**$6 \cdot \cos(55^\circ)** | Calcula o cateto adjacente a $B (lado \overline{BC})Sim
D$6 \cdot \cos(35^\circ)$Calcula o cateto adjacente a A (lado \overline{AC})Não

Conclusão:

As duas expressões que representam corretamente o comprimento do lado \overline{BC} são derivadas do uso do cosseno para o ângulo conhecido ($55^\circ$) e do seno para o ângulo complementar ($35^\circ$). Portanto, as respostas corretas são as alternativas B e C.

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