Quais expressões representam o comprimento do lado BC?

Alternativas B e C

O problema apresenta um triângulo retângulo onde precisamos encontrar o comprimento do cateto adjacente ao ângulo de $55^\circ$ (lado \overline{BC}) ou oposto ao ângulo complementar (lado \overline{BC} relativo ao ângulo A).

Análise Geométrica:

1. Identificação dos elementos:

• Hipotenusa (\overline{AB}): $6$
• Ângulo em B: $55^\circ$
• Ângulo reto em C: $90^\circ$
• Lado desejado: \overline{BC} (cateto adjacente a B)

1. Método 1 - Usando o ângulo B ($55^\circ$):

• O lado \overline{BC} é o cateto adjacente ao ângulo B.
• A relação trigonométrica para o adjacente é o cosseno.
• Fórmula: \cos(\theta) = \frac{\text{Adjacente}}{\text{Hipotenusa}}
• Substituindo: \cos(55^\circ) = \frac{BC}{6} \Rightarrow BC = 6 \cdot \cos(55^\circ)
• Isso confirma a Alternativa C.

1. Método 2 - Usando o ângulo A ($35^\circ$):

• Como os agudos de um triângulo retângulo são complementares: A = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ.
• Relativo ao ângulo A, o lado \overline{BC} é o cateto oposto.
• A relação trigonométrica para o oposto é o seno.
• Fórmula: \sin(\theta) = \frac{\text{Oposto}}{\text{Hipotenusa}}
• Substituindo: \sin(35^\circ) = \frac{BC}{6} \Rightarrow BC = 6 \cdot \sin(35^\circ)
• Isso confirma a Alternativa B.

Comparação das Opções:

Conclusão:

As duas expressões que representam corretamente o comprimento do lado \overline{BC} são derivadas do uso do cosseno para o ângulo conhecido ($55^\circ$) e do seno para o ângulo complementar ($35^\circ$). Portanto, as respostas corretas são as alternativas B e C.