Sabendo que uma reta l é dada pelas equações
a(x − x0) + b(y − y0) = 0 e
x = x0 + cλ
y = y0 + dλ , λ ∈ R,
determine seus coeficientes angular e linear em função das constantes a, b, c, d, x0 e y0.

Question

Sabendo que uma reta l é dada pelas equações
a(x − x0) + b(y − y0) = 0 e

x = x0 + cλ
y = y0 + dλ , λ ∈ R,
determine seus coeficientes angular e linear em função das constantes a, b, c, d, x0 e y0.

Sapien IA · Accepted Answer

A resposta para os coeficientes angular e linear da reta é $m = \frac{a}{b}$ e $n = \frac{ax 0 + by 0}{b}$ , respectivamente, desde que $b 
eq 0$. Caso se utilize a forma paramétrica, o coeficiente angular também pode ser expresso como $m = \frac{d}{c}$ . Esta questão exige a conversão das formas implícita e paramétrica da equação da reta para a forma reduzida ou slope intercept, que é $y = mx + n$. Desenvolvimento O objetivo é encontrar a relação entre $y$ e $x$ na forma $y = mx + n$, onde $m$ é o coeficiente angular (inclinação) e $n$ é o coeficiente linear (intercepto com o eixo $y$). Utilizaremos primeiramente a primeira equação fornecida, que representa a forma ponto normal : $$a(x x 0) + b(y y 0) = 0$$ Isolando $y$ nesta expressão, obtemos a forma explícita desejada. Análise Identificação dos Dados: Temos um ponto $P 0(x 0, y 0)$ pela qual a reta passa e duas representações algébricas para a mesma linha. Transformação da Equação Geral: $$a(x x 0) + b(y y 0) = 0$$ $$b(y y 0) = a(x x 0)$$ $$y y 0 = \frac{a}{b}(x x 0)$$ $$y = \frac{a}{b}x + \frac{ax 0}{b} + y 0$$ Identificação dos Coeficientes: Comparando com $y = mx + n$: Coeficiente Angular ($m$): $ \frac{a}{b}$ Coeficiente Linear ($n$): $\frac{ax 0}{b} + y 0 = \frac{ax 0 + by 0}{b}$ Verificação com Forma Paramétrica: Da segunda equação, eliminamos o parâmetro $\lambda$: $$\lambda = \frac{x x 0}{c}$$ Substituindo em $y$: $$y = y 0 + d\left(\frac{x x 0}{c}ight) \Rightarrow y = \frac{d}{c}x + \left(y 0 \frac{dx 0}{c}ight)$$ Isso confirma que $m = \frac{d}{c}$, o que é consistente pois para uma reta única, o vetor normal $(a, b)$ deve ser ortogonal ao vetor diretor $(c, d)$, implicando $ac + bd = 0$. Conclusão Assumindo que a reta não seja vertical ($b 
eq 0$ e $c 
eq 0$), os coeficientes solicitados são obtidos diretamente pelo rearranjo algébrico das equações fornecidas. O resultado mais direto considerando a constante $b$ é: $$m = \frac{a}{b}$$ $$n = \frac{ax 0 + by 0}{b}$$

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Desenvolvimento

Análise

Conclusão

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Sabendo que uma reta l é dada pelas equações a(x − x0) + b(y − y0) = 0 e x = x0 + cλ y = y0 + dλ , λ ∈ R, determine seus coeficientes angular e linear em função das constantes a, b, c, d, x0 e y0.