Sejam dois planos γ e β, com β: 2x - y + 3z + 10 = 0 e nγ = a1i + b1j + c1k o vetor normal ao plano γ. Qual é o valor de nγ para que os planos γ e β sejam perpendiculares?

Alternativa d - (1, 5, 1)

Introdução

O problema envolve a condição de dois planos serem perpendiculares, relacionada aos vetores normais desses planos.

Desenvolvimento

Para que dois planos sejam perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares entre si. A condição para dois vetores \vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1) e \vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2) serem perpendiculares é que seu produto escalar é zero:
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0

Análise

• O plano \beta tem a equação $2x - y + 3z + 10 = 0$, então seu vetor normal é \vec{n_\beta} = (2, -1, 3).
• O vetor normal do plano \gamma é \vec{n_\gamma} = (a_1, b_1, c_1). Para que os planos sejam perpendiculares, \vec{n_\beta} \cdot \vec{n_\gamma} = 0.

Testando cada opção:

• a) (-1, 3, 10): $2(-1) + (-1)(3) + 3(10) = -2 - 3 + 30 = 25 \neq 0$
• b) (1, 2, 3): $2(1) + (-1)(2) + 3(3) = 2 - 2 + 9 = 9 \neq 0$
• c) (4, 2, 6): $2(4) + (-1)(2) + 3(6) = 8 - 2 + 18 = 24 \neq 0$
• d) (1, 5, 1): $2(1) + (-1)(5) + 3(1) = 2 - 5 + 3 = 0$ (satisfaz a condição)
• e) (4, -2, 6): $2(4) + (-1)(-2) + 3(6) = 8 + 2 + 18 = 28 \neq 0$

Conclusão

A única opção que satisfaz a condição de perpendicularidade entre os vetores normais é a d.

Alternativa d.