Um dos alunos construiu um polígono convexo com 152 diagonais. A soma dos ângulos internos desse polígono é igual a

Question

Um dos alunos construiu um polígono convexo com 152 diagonais. A soma dos ângulos internos desse polígono é igual a A) 19°. B) 152°. C) 1 225°. D) 3 060°. E) 3 420°.

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Alternativa D $3\,060^\circ$ Para resolver esta questão, precisamos seguir dois passos principais: primeiro, descobrir quantos lados possui o polígono; segundo, calcular a soma dos seus ângulos internos. Passagem 1: Encontrando o número de lados ($n$) A quantidade de diagonais de um polígono convexo é dada pela fórmula: $$D = \frac{n(n 3)}{2}$$ Onde: $D$ é o número de diagonais (dado como 152 no problema). $n$ é o número de lados do polígono. Substituindo os valores na equação: $$152 = \frac{n(n 3)}{2}$$ Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar a fração: $$304 = n(n 3)$$ Isolamos os termos para formar uma equação do segundo grau: $$n^2 3n 304 = 0$$ Resolvendo essa equação (usando a fórmula de Bhaskara), encontramos que o valor válido para $n$ é 19 . Portanto, trata se de um nonadecágono. Passagem 2: Calculando a Soma dos Ângulos Internos ($S i$) Com o número de lados encontrado ($n = 19$), utilizamos a fórmula da soma dos ângulos internos: $$S i = (n 2) \cdot 180^\circ$$ Substituindo $n$ por 19: $$S i = (19 2) \cdot 180^\circ$$ $$S i = 17 \cdot 180^\circ$$ Realizando a multiplicação: $$S i = 3\,060^\circ$$ Resumo dos cálculos | Etapa | Cálculo | Resultado | | : | : | : | | Número de Lados | $\frac{n(n 3)}{2} = 152 \Rightarrow n = 19$ | 19 lados | | Soma Ângulos | $(19 2) 	imes 180^\circ$ | $3\,060^\circ$ | A alternativa correta é a D .

Explicação passo a passo

Passagem 1: Encontrando o número de lados ( $n$ )

Passagem 2: Calculando a Soma dos Ângulos Internos ( $S_i$ )

Resumo dos cálculos

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Etapa	Cálculo	Resultado
Número de Lados	$\frac{n(n-3)}{2} = 152 \Rightarrow n = 19$	19 lados
Soma Ângulos	$(19 - 2) \times 180^\circ$	$3\,060^\circ$