A agência de viagens Yak organiza escaladas ao Monte Everest. Para cada escalada, eles cobram uma taxa inicial mais \$0{,}15 por metro vertical escalado. Por exemplo, o preço para escalar todo o percurso até o pico, que fica \$3{,}500 metros acima da base da montanha, é de \$645. Considere \$y a taxa (em reais) de uma escalada na qual eles escalam \$x metros verticais. Complete a equação da relação entre a taxa e a distância vertical.

Esta questão envolve a construção de uma função afim (equação do primeiro grau), onde o custo total depende de uma taxa fixa mais uma variável proporcional à distância.

A forma geral da equação é:
$$y = ax + b$$
Onde:

• $y$ é o valor total pago.
• $x$ é a quantidade de metros escalados.
• $a$ é o custo por metro (coeficiente angular).
• $b$ é a taxa inicial (coeficiente linear).

Identificando os Dados

1. Custo por metro ($a$): O enunciado informa que cobram $0{,}15$ por metro.
   $$a = 0{,}15$$
2. Ponto conhecido: Sabemos que escalar $3.500$ metros custa $645$.

• $x = 3.500$
• $y = 645$

Calculando a Taxa Inicial ($b$)

Substituímos os valores conhecidos na equação para descobrir o valor de $b$:

$$645 = 0{,}15 \cdot 3.500 + b$$

Primeiro, calculamos o produto $0{,}15 \times 3.500$:
$$0{,}15 \times 3.500 = \frac{15}{100} \times 3.500 = 15 \times 35 = 525$$

Agora isolamos $b$:
$$645 = 525 + b$$
$$b = 645 - 525$$
$$b = 120$$

Isso significa que existe uma taxa fixa de $120$ antes mesmo de começar a escalar qualquer metro.

Montando a Equação Final

Com $a = 0{,}15$ e $b = 120$, substituímos na forma geral da função:

$$y = 0{,}15x + 120$$

Verificação

Podemos confirmar substituindo novamente $x = 3.500$ na equação encontrada:
$$y = 0{,}15(3.500) + 120$$
$$y = 525 + 120$$
$$y = 645$$
O resultado bate exatamente com o dado do exemplo.

Resposta Final

A equação que completa a relação entre a taxa e a distância vertical é:

$$y = 0{,}15x + 120$$