Um empreendedor decidiu abrir uma barraquinha de venda de sorvetes em um parque local. Ele vende cada sorvete por R$ 4,50 e investiu R$ 200,00 no negócio para comprar os ingredientes e a barraquinha. O lucro (y) é uma função da quantidade de sorvetes vendidos (x). Qual das seguintes alternativas representa corretamente o gráfico da função do lucro?

Alternativa A

Para resolver esta questão, devemos construir a função matemática que descreve o lucro do empreendimento e identificar seus elementos principais (coeficiente linear e raiz da função).

1. Montando a Função do Lucro

O lucro ($y$) é calculado subtraindo-se o custo total da receita total.

• Receita ($R$): É o dinheiro que entra pelas vendas.
  $$R(x) = \text{Preço unitário} \times \text{Quantidade}$$
  $$R(x) = 4,50 \cdot x$$
• Custo ($C$): É o dinheiro gasto inicialmente para montar o negócio. O enunciado informa um investimento fixo de R$ 200,00.
  $$C = 200$$
• Função Lucro ($y$):
  $$y = R(x) - C$$
  $$y = 4,50x - 200$$

Esta é uma função afim do tipo $y = ax + b$, onde:

• $a = 4,50$ (Coeficiente angular: indica que o lucro cresce R$ 4,50 a cada sorvete vendido).
• $b = -200$ (Coeficiente linear: indica o valor inicial quando $x = 0$, ou seja, o prejuízo inicial do investimento).

2. Analisando os Pontos Chave do Gráfico

Para encontrar o gráfico correto, verificamos dois pontos fundamentais:

1. Intercepto com o eixo Y (Quando $x = 0$):
   Substituindo $x = 0$ na equação:
   $$y = 4,50(0) - 200$$
   $$y = -200$$
   O gráfico deve cruzar o eixo vertical no valor -200. Isso elimina os gráficos II, IV e V (que mostram valores diferentes como -2, -4,5 ou -20). Restam apenas os gráficos (I) e (III).
2. Raiz da Função (Ponto de Equilíbrio - Quando $y = 0$):
   É o momento em que o lucro é zero (recuperou o investimento). Igualamos a função a zero:
   $$0 = 4,50x - 200$$
   $$200 = 4,50x$$
   $$x = \frac{200}{4,50}$$
   $$x \approx 44,44$$
   O gráfico deve cruzar o eixo horizontal ($x$) aproximadamente no valor 44,4.

3. Comparando as Alternativas

• Gráfico (I): Apresenta o intercepto Y em -200 e o intercepto X marcado como 48,4 (ou possivelmente 44,4 dependendo da legibilidade da imagem, mas matematicamente é o único que se aproxima da raiz real de 44,44).
• Gráfico (III): Apresenta o intercepto Y em -200, mas o intercepto X está em 50. Se a raiz fosse 50, o preço unitário seria $200 / 50 = \text{R\$ } 4,00$, o que contradiz o enunciado (R$ 4,50).

Portanto, o gráfico (I) é o que melhor representa a função $y = 4,50x - 200$, considerando o arredondamento ou uma pequena variação na impressão do número da raiz.

Alternativa A.