Calcule os seguintes produtos notáveis.

Resumo da Resposta

A resolução consiste na aplicação direta das identidades dos produtos notáveis para expandir ou simplificar as expressões algébricas apresentadas. O resultado final é uma lista de seis polinômios desenvolvidos seguindo rigorosamente as regras de sinais e expoentes.

Desenvolvimento Passo a Passo

Para resolver cada item, identificamos qual padrão de produto notável se aplica:

• Itens a, b, c, d): Aplicamos a fórmula do Quadrado da Soma ou Diferença: (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2.
• a) (x + 10)^2 = x^2 + 2(x)(10) + 10^2 \Rightarrow x^2 + 20x + 100
• b) (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 \Rightarrow 4x^2 + 12x + 9
• c) (3x^2 - 4y)^2 = (3x^2)^2 - 2(3x^2)(4y) + (4y)^2 \Rightarrow 9x^4 - 24x^2y + 16y^2
• d) (5x^2 - 3x)^2 = (5x^2)^2 - 2(5x^2)(3x) + (3x)^2 \Rightarrow 25x^4 - 30x^3 + 9x^2
• Itens e, f): Aplicamos a fórmula do Produto da Soma pela Diferença: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
• e) (x^2 + 3)(x^2 - 3) = (x^2)^2 - 3^2 \Rightarrow x^4 - 9
• f) (\frac{1}{5}a - 7)(\frac{1}{5}a + 7) = (\frac{1}{5}a)^2 - 7^2 \Rightarrow \frac{1}{25}a^2 - 49

Análise Conceitual

• Identificação dos Padrões: O primeiro passo crucial é observar a estrutura da expressão. Se houver um parêntese elevado ao quadrado, usa-se o desenvolvimento do quadrado. Se houver dois parênteses multiplicando-se com um sinal positivo e outro negativo entre os termos iguais, usa-se a diferença de quadrados.
• Cuidado com os Expoentes: Ao elevar termos como (2x) ou (3x^2) ao quadrado, deve-se elevar tanto o coeficiente quanto a variável ao expoente indicado. Exemplo: (3x^2)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 = 9x^4.
• Sinais: No quadrado da diferença (a-b)^2, o termo do meio é negativo (-2ab), enquanto nos itens tipo produto da soma pela diferença (a+b)(a-b), o resultado é sempre uma subtração de quadrados (a^2 - b^2).
• Frações: Nos cálculos envolvendo frações, como no item f, o quadrado da fração \frac{1}{5} resulta em \frac{1}{25}, aplicando-se o quadrado tanto ao numerador quanto ao denominador.

Conclusão

Dominar as fórmulas dos produtos notáveis permite economizar tempo e evitar erros comuns na multiplicação de polinômios. A prática constante garante que a identificação correta do padrão seja automática, facilitando a resolução de equações mais complexas no futuro.