Dada a equação |x² - 5x| = 6, onde x é um número real, determine o produto de todas as soluções da equação dada.

Alternativa E

O problema solicita o produto de todas as soluções da equação modular |x^2 - 5x| = 6. Para resolver equações do tipo |f(x)| = k (onde k > 0), devemos considerar dois casos possíveis para o valor dentro do módulo.

Desenvolvimento

Passo 1: Definir os casos
A definição de módulo indica que |A| = 6 implica que A = 6 ou A = -6. Portanto, temos duas equações quadráticas para resolver:
x^2 - 5x = 6
x^2 - 5x = -6

Passo 2: Resolver o primeiro caso
Para x^2 - 5x = 6, reorganizamos para igualar a zero:
x^2 - 5x - 6 = 0
Fatorando a expressão, encontramos (x - 6)(x + 1) = 0.
As raízes são:

• x_1 = 6
• x_2 = -1

Passo 3: Resolver o segundo caso
Para x^2 - 5x = -6, reorganizamos para igualar a zero:
x^2 - 5x + 6 = 0
Fatorando a expressão, encontramos (x - 2)(x - 3) = 0.
As raízes são:

• x_3 = 2
• x_4 = 3

Passo 4: Calcular o produto das soluções
Temos quatro soluções reais distintas: \{-1, 2, 3, 6\}. O enunciado pede o produto de todas elas:
P = (-1) \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6
P = -2 \cdot 3 \cdot 6
P = -6 \cdot 6
P = -36

Conclusão

O cálculo confirma que o produto de todas as soluções é -36, correspondendo à alternativa E.