Alternativa B - Min w = 8y_1 + 10y_2 + 70y_3
Fundamentação Teórica
Para resolver esta questão, é necessário compreender a Dualidade em Programação Linear. Todo problema de otimização (primal) tem um problema associado chamado dual. As regras de conversão da função objetivo são diretas:
- Sentido da Otimização: Se o problema primal busca Maximizar (lucro), o dual buscará Minimizar (custo ou valor dos recursos).
- Coeficientes da Função Objetivo:
- No Primal, os coeficientes representam o lucro unitário por produto (c_j).
- No Dual, os coeficientes representam a disponibilidade total dos recursos limitantes (b_i).
Análise Passo a Passo
Vamos extrair os dados cruciais do enunciado para construir a função do dual:
1. Identificar os Recursos (Lados Direitos das Restrições)
Na tabela e nas equações do problema primal, temos três recursos limitantes (restrições):
- Farinha: Disponibilidade de 8 kg.
- Leite: Disponibilidade de 10 litros.
- Ovos: Disponibilidade de 70 unidades.
Estes valores formam o vetor dos lados direitos (b). Eles serão os novos coeficientes da função objetivo no problema dual.
2. Identificar as Variáveis do Dual
Cada restrição do primal gera uma variável no dual (y_1, y_2, y_3):
- y_1: Valor sombra da Farinha.
- y_2: Valor sombra do Leite.
- y_3: Valor sombra dos Ovos.
3. Construir a Função Objetivo do Dual
A regra é multiplicar cada variável dual (y) pela disponibilidade correspondente (b) do primal:
\text{Min } W = (\text{Disponibilidade Farinha}) \cdot y_1 + (\text{Disponibilidade Leite}) \cdot y_2 + (\text{Disponibilidade Ovos}) \cdot y_3
Substituindo os números:
\text{Min } W = 8y_1 + 10y_2 + 70y_3
Conclusão
A alternativa A utiliza os valores de lucro ($5, 6, 8$), o que seria correto apenas se fôssemos definir o lado direito das restrições do dual, mas não a função objetivo.
A alternativa B utiliza corretamente os valores de disponibilidade ($8, 10, 70$) como coeficientes da função objetivo de minimização.
Portanto, a resposta correta é a Alternativa B.