O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q) = -4q² + 1.000q - 12.000 reais, para variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:

Alternativa E

Para resolver esta questão, precisamos encontrar o valor máximo de uma função quadrática (função do 2º grau). O enunciado fornece a função do lucro L(q):

Análise Matemática

1. Identificação da Função:
   A função é do tipo f(x) = ax^2 + bx + c, onde:

• a = -4
• b = 1.000
• c = -12.000

Como o coeficiente a é negativo (-4), a parábola tem a concavidade voltada para baixo, o que indica que existe um ponto de máximo.

1. Cálculo do Vértice da Parábola:
   O valor máximo da função corresponde à ordenada do vértice (y_v). A fórmula para calcular y_v usando o discriminante (\Delta) é:

Primeiro, calculamos o \Delta:
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta = (1.000)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-12.000)
\Delta = 1.000.000 - 192.000
\Delta = 808.000

Agora, substituímos na fórmula do vértice:
y_v = \frac{-808.000}{4 \cdot (-4)}
y_v = \frac{-808.000}{-16}
y_v = 50.500

Portanto, o valor máximo de lucro é R$ 50.500,00.

Conclusão

O cálculo confirma que o lucro máximo obtido pela produção e venda de 125 unidades (pois q_v = \frac{-b}{2a} = 125) é de R$ 50.500,00.

Isso corresponde à Alternativa E.