O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q) = -4q² + 1.000q - 12.000 reais, para variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:

Alternativa E

Para resolver esta questão, precisamos encontrar o valor máximo de uma função quadrática (função do 2º grau). O enunciado fornece a função do lucro $L(q)$:

$$L(q) = -4q^2 + 1.000q - 12.000$$

Análise Matemática

1. Identificação da Função:
   A função é do tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$, onde:

• $a = -4$
• $b = 1.000$
• $c = -12.000$

Como o coeficiente $a$ é negativo ($-4$), a parábola tem a concavidade voltada para baixo, o que indica que existe um ponto de máximo.

1. Cálculo do Vértice da Parábola:
   O valor máximo da função corresponde à ordenada do vértice ($yv$). A fórmula para calcular $yv$ usando o discriminante ($\Delta$) é:

$$y_v = \frac{-\Delta}{4a}$$

Primeiro, calculamos o $\Delta$:
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
$$\Delta = (1.000)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-12.000)$$
$$\Delta = 1.000.000 - 192.000$$
$$\Delta = 808.000$$

Agora, substituímos na fórmula do vértice:
$$y_v = \frac{-808.000}{4 \cdot (-4)}$$
$$y_v = \frac{-808.000}{-16}$$
$$y_v = 50.500$$

Portanto, o valor máximo de lucro é R$ 50.500,00.

Conclusão

O cálculo confirma que o lucro máximo obtido pela produção e venda de 125 unidades (pois $q_v = \frac{-b}{2a} = 125$) é de R$ 50.500,00.

Isso corresponde à Alternativa E.