Alternativa E
Para resolver esta questão, precisamos encontrar o valor máximo de uma função quadrática (função do 2º grau). O enunciado fornece a função do lucro $L(q)$:
$$L(q) = -4q^2 + 1.000q - 12.000$$
Análise Matemática
- Identificação da Função:
A função é do tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$, onde:
- $a = -4$
- $b = 1.000$
- $c = -12.000$
Como o coeficiente $a$ é negativo ($-4$), a parábola tem a concavidade voltada para baixo, o que indica que existe um ponto de máximo.
- Cálculo do Vértice da Parábola:
O valor máximo da função corresponde à ordenada do vértice ($yv$). A fórmula para calcular $yv$ usando o discriminante ($\Delta$) é:
$$y_v = \frac{-\Delta}{4a}$$
Primeiro, calculamos o $\Delta$:
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
$$\Delta = (1.000)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-12.000)$$
$$\Delta = 1.000.000 - 192.000$$
$$\Delta = 808.000$$
Agora, substituímos na fórmula do vértice:
$$y_v = \frac{-808.000}{4 \cdot (-4)}$$
$$y_v = \frac{-808.000}{-16}$$
$$y_v = 50.500$$
Portanto, o valor máximo de lucro é R$ 50.500,00.
Conclusão
O cálculo confirma que o lucro máximo obtido pela produção e venda de 125 unidades (pois $q_v = \frac{-b}{2a} = 125$) é de R$ 50.500,00.
Isso corresponde à Alternativa E.