O valor de k>0 na equação x^2+2kx+16=0, de modo que a diferença entre as suas raízes seja 6, é

Resolução da Equação Quadrática

O objetivo é encontrar o valor positivo de k tal que a diferença entre as raízes da equação x^2 + 2kx + 16 = 0 seja igual a 6.

Identificação dos Dados

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0:

• Coeficiente a = 1
• Coeficiente b = 2k
• Coeficiente c = 16

Sabemos que a diferença entre as raízes de uma equação quadrática está diretamente relacionada ao discriminante (\Delta). A fórmula para a diferença absoluta entre as raízes |x_1 - x_2| é dada por:

Como neste caso a = 1, simplificamos para:

Cálculo do Discriminante

O discriminante é calculado pela fórmula \Delta = b^2 - 4ac. Substituindo nossos valores:

Montagem da Equação

O enunciado informa que a diferença entre as raízes é 6. Portanto:

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Isolamos o termo com k:

Dividimos por 4:

Extraindo a raiz quadrada:

Restrição e Conclusão

O enunciado estabelece explicitamente que **k > 0$**. Assim, descartamos a solução negativa ($-5).

Verificação

Se substituirmos k = 5 na equação original:
x^2 + 10x + 16 = 0

As raízes são x = -2 e x = -8.
A diferença entre elas é |-2 - (-8)| = |6| = 6. A condição é satisfeita.

Análise

• Fórmula chave: A diferença das raízes é \frac{\sqrt{\Delta}}{a}.
• Cuidado: Sempre verificar se o discriminante é positivo para garantir que existem raízes reais. Aqui $4(5)^2 - 64 = 36 > 0$, ok.
• Condição imposta: O valor de k deve ser estritamente positivo.

Resposta Final

O valor de k é 5.