Quais são, respectivamente, as soluções da equação do segundo grau f(x) = x² + 3x + 2 e a forma fatorada dessa função?

Alternativa D

A questão solicita as raízes da equação quadrática f(x) = x^2 + 3x + 2 e sua forma fatorada. Para resolver isso de forma rápida, utilizamos o método da Soma e Produto.

Em uma equação do tipo ax^2 + bx + c = 0, temos:

• A soma das raízes deve ser igual a -\frac{b}{a}
• O produto das raízes deve ser igual a \frac{c}{a}

No nosso caso (a=1, b=3, c=2):
\text{Soma} = -\frac{3}{1} = -3
\text{Produto} = \frac{2}{1} = 2

Precisamos encontrar dois números que multiplicados resultem em 2 e somados resultem em -3. Os números inteiros que satisfazem essa condição são -1 e -2, pois:

• (-1) \times (-2) = 2
• (-1) + (-2) = -3

Portanto, as soluções (raízes) são x = -1 e x = -2. A forma fatorada é obtida escrevendo-se (x - x_1)(x - x_2), ou seja:
f(x) = (x - (-1))(x - (-2)) \Rightarrow f(x) = (x + 1)(x + 2)

Análise das Alternativas

• A) Indica raízes positivas (2 e 3). Incorreta.
• B) Mistura sinal negativo e positivo. Incorreta.
• C) Raízes positivas. Incorreta.
• D) Apresenta as raízes corretas (x = -2 e $x = -1$) e a forma fatorada correta ($(x + 2)(x + 1)$). Correta.
• E) Raízes positivas. Incorreta.

A alternativa D é a única que corresponde ao cálculo correto das raízes e à estrutura algébrica da função.