Qual o valor do depósito mensal necessário para se chegar ao montante de R$ 8.000,00 em 12 meses, a juros de 3% ao mês, com o primeiro depósito feito no ato?

Question

Qual o valor do depósito mensal necessário para se chegar ao montante de R$ 8.000,00 em 12 meses, a juros de 3% ao mês, com o primeiro depósito feito no ato? A) R$ 568,40 B) R$ 521,80 C) R$ 565,00 D) R$ 547,28 E) R$ 563,70

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa D Para resolver esta questão, devemos identificar que se trata de um problema de Matemática Financeira envolvendo Renda Certa Antecipada (também conhecida como Anuidade Antecipada). Análise dos Dados Montante ($S$): R$ 8.000,00 (valor futuro desejado) Taxa de Juros ($i$): 3% ao mês = 0,03 Tempo ($n$): 12 meses Momento do Depósito: "Primeiro depósito feito no ato". Isso indica que os pagamentos ocorrem no início de cada período, caracterizando uma anuidade antecipada. Fórmula Utilizada Como os depósitos são feitos no início do período, o dinheiro rende por um período a mais do que nas anuidades comuns. A fórmula do Montante ($S$) para Renda Antecipada é: $$S = PMT 	imes \left[ \frac{(1+i)^n 1}{i} ight] 	imes (1+i)$$ Onde $PMT$ é o valor do depósito mensal que queremos encontrar. Isolando o $PMT$, temos: $$PMT = \frac{S}{\left[ \frac{(1+i)^n 1}{i} ight] 	imes (1+i)}$$ Passo a Passo do Cálculo 1. Calcular o fator de acumulação ($F$): Primeiro calculamos a parte da anuidade ordinária: $$ \frac{(1+0,03)^{12} 1}{0,03} = \frac{1,42576 1}{0,03} = 14,192 $$ Como é antecipada , multiplicamos pelo fator $(1+i)$ para ajustar o rendimento extra do primeiro pagamento: $$ F = 14,192 	imes 1,03 \approx 14,6178 $$ 2. Calcular o valor do depósito ($PMT$): $$ PMT = \frac{8.000}{14,6178} \approx 547,22 $$ Nota: Pequenas variações de centavos (como 547,28) podem ocorrer devido ao uso de tabelas financeiras com diferentes graus de arredondamento. Análise das Alternativas | Alternativa | Valor Calculado (Aprox.) | Observação | | : | : | : | | A) R$ 568,40 | Incorreto | Valor superior demais. | | B) R$ 521,80 | Incorreto | Valor inferior demais. | | C) R$ 565,00 | Incorreto | Próximo do valor ordinário. | | D) R$ 547,28 | Correto ( 547,22) | Corresponde à Anuidade Antecipada. | | E) R$ 563,70 | Incorreto | Corresponde à Anuidade Ordinária (depósito no final do mês). | A alternativa E seria a resposta se os depósitos fossem feitos no fim de cada mês (Anuidade Ordinária), pois o valor necessário seria maior já que o dinheiro renderia por menos tempo. Como o enunciado exige o depósito "no ato", o valor deve ser menor ( Alternativa D ).

Explicação passo a passo

Análise dos Dados

Fórmula Utilizada

Passo a Passo do Cálculo

Análise das Alternativas

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Alternativa	Valor Calculado (Aprox.)	Observação
A) R$ 568,40	Incorreto	Valor superior demais.
B) R$ 521,80	Incorreto	Valor inferior demais.
C) R$ 565,00	Incorreto	Próximo do valor ordinário.
D) R$ 547,28	Correto (~547,22)	Corresponde à Anuidade Antecipada.
E) R$ 563,70	Incorreto	Corresponde à Anuidade Ordinária (depósito no final do mês).