Um empreendedor decidiu abrir uma barraquinha de venda de sorvetes em um parque local. Ele vende cada sorvete por R$ 4,50 e investiu R$ 200,00 no negócio para comprar os ingredientes e a barraquinha. O lucro (y) é uma função da quantidade de sorvetes vendidos (x). Qual das seguintes alternativas representa corretamente o gráfico da função de lucro?

Alternativa A

Vamos analisar passo a passo como construir a função de lucro e identificar o gráfico correto.

1. Montando a Função do Lucro

Para encontrar o lucro ($y$), precisamos subtrair o custo total da receita total.

• Receita: O valor que entra vendendo os sorvetes.
• Preço unitário = R$ 4,50
• Quantidade vendida = $x$
• Receita = $4,50 \cdot x$
• Custo: O investimento inicial feito antes de vender nada.
• Custo Fixo = R$ 200,00
• Função do Lucro ($y$):
  $$y = \text{Receita} - \text{Custo}$$
  $$y = 4,50x - 200$$

Esta é uma função do primeiro grau na forma $y = ax + b$, onde:

• $a = 4,50$ (coeficiente angular, inclinação da reta)
• $b = -200$ (coeficiente linear, onde a reta corta o eixo Y)

2. Analisando o Gráfico

Podemos verificar dois pontos fundamentais para identificar o desenho correto:

A) O Intercepto no Eixo Y (Custo Inicial):
Quando ainda não vendemos nada ($x = 0$), qual é o lucro?
$$y = 4,50(0) - 200$$
$$y = -200$$
Isso significa que o gráfico deve cortar o eixo vertical (Y) no ponto -200.

• Observação: Apenas os gráficos (I) e (III) mostram esse corte no eixo Y em -200. Os outros estão errados.

B) O Ponto de Equilíbrio (Raiz da Função):
É o momento em que o lucro é zero (não ganhou nem perdeu dinheiro). Para achar, fazemos $y = 0$:
$$0 = 4,50x - 200$$
$$4,50x = 200$$
$$x = \frac{200}{4,50}$$
$$x = \frac{2000}{45} \approx 44,44$$

Isso significa que o gráfico deve cruzar o eixo horizontal (X) no valor aproximado de 44,4.

## Análise dos Gráficos

Portanto, o único gráfico que apresenta o corte no eixo Y em -200 e o cruzamento no eixo X em aproximadamente 44,4 é o gráfico (I).

A resposta correta é a Alternativa A.