Uma organização beneficente realizou um evento de arrecadação de fundos, no qual cada ingresso foi vendido a um preço fixo. Depois de venderem 200 ingressos, eles tinham um lucro líquido de $12.000. Eles tinham que vender alguns ingressos apenas para cobrir os custos essenciais de produção equivalentes a $1.200. Considere y o lucro líquido (em reais) quando eles venderam x ingressos. Complete a equação da relação entre o lucro líquido e o número de ingressos vendidos. y=

Resumo da resposta

A equação da relação entre o lucro líquido $y$ e o número de ingressos $x$ é $y = 66x - 1.200$.

Análise do Problema

Para encontrar a equação, precisamos modelar a situação como uma função afim, onde o lucro depende linearmente da quantidade vendida.

A fórmula geral do lucro líquido é:
$$\text{Lucro} = \text{Receita Total} - \text{Custo Total}$$

No contexto do problema:

• Custo Fixo: Os custos essenciais de produção são de $\$1.200$. Este valor deve ser descontado sempre, mesmo sem vendas.
• Receita Unitária: Cada ingresso tem um preço fixo, que chamaremos de $p$.
• Quantidade Vendida: Representada por $x$.

Assim, a equação fica na forma:
$$y = p \cdot x - 1.200$$

Calculando o Preço do Ingresso

Utilizamos o dado fornecido: após vender $200$ ingressos, o lucro foi de $\$12.000$.
Substituímos $x = 200$ e $y = 12.000$ na equação para encontrar $p$:

$$12.000 = p \cdot 200 - 1.200$$

Isolamos o termo da receita ($p \cdot 200$):

$$12.000 + 1.200 = 200p$$
$$13.200 = 200p$$

Dividimos por $200$ para achar o preço unitário:

$$p = \frac{13.200}{200} = 66$$

Portanto, cada ingresso custa $\$66$.

Montagem da Equação Final

Com o valor de $p$ determinado, substituímos na expressão geral:

$$y = 66x - 1.200$$

Conclusão

A equação completa que descreve a relação solicitada é:

$$y = 66x - 1.200$$