Alternativa C
Compreensão da Lógica de Quantificadores:
O problema exige identificar a equivalência lógica de uma negação envolvendo quantificadores universais. Vamos analisar a estrutura da frase de Pedro:
- Premissa Interna: "Todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta".
- Isso corresponde a uma proposição universal negativa (\forall x, \neg P(x)).
- Negação Externa: "Não é verdade que..."
- O objetivo é encontrar a negação dessa premissa interna (\neg (\forall x, \neg P(x))).
Regra de De Morgan para Quantificadores:
Na lógica formal, existem regras específicas para negar sentenças com quantificadores:
- A negação de "Todos são" é "Pelo menos um não é".
- A negação de "Nenhum é" (ou "Todos não são") é "Pelo menos um é".
Matematicamente, podemos expressar essa transformação como:
\neg (\forall x, \neg P(x)) \iff \exists x, P(x)
Onde:
- \forall representa "Para todo" (Universal)
- \exists representa "Existe pelo menos um" (Existencial)
- \neg representa a negação
Análise Detalhada das Alternativas:
- A) "No máximo, um aldeão... não dorme": Incorreta. Refere-se à restrição de quem não dorme, não garantindo a existência de quem dorme.
- B) "Todos os aldeões... dormem": Incorreta. A negação de "ninguém dorme" não implica que "todo mundo dorme", apenas que existe exceção.
- C) "Pelo menos um aldeão... dorme a sesta": Correta. Esta é a tradução literal da fórmula \exists x, P(x). Basta um único aldeão que durma para invalidar a afirmação "todos não dormem".
- D) "Nenhum aldeão... não dorme": Incorreta. Duas negações cancelam-se mutuamente, significando "Todos dormem", o que é mais forte do que o necessário.
- E) "Nenhum aldeão... dorme": Incorreta. Esta é a repetição da premissa original antes da negação de Pedro.
Conclusão:
Para que a afirmação "Não é verdade que todos não dormem" seja verdadeira, basta que exista um contraexemplo à regra de que ninguém dorme. Portanto, a condição necessária e suficiente é que haja pelo menos um indivíduo que realize a ação.