determinar a variação de volume de uma esfera de alumínio, cujo raio é de 10,0cm quando aquecida de 0,00°c a 100,00°c?

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Variação de Volume de Esfera de Alumínio Aquecida

Esta é uma questão sobre dilatação térmica volumétrica de sólidos.

Dados do Problema

Grandeza	Valor
Material	Alumínio
Raio inicial (r₀)	10,0 cm
Temperatura inicial (T₀)	0,00°C
Temperatura final (T₁)	100,00°C
Coeficiente α (alumínio)	~24 × 10⁻⁶ °C⁻¹

Desenvolvimento da Solução

Passo 1: Calcular o volume inicial da esfera

A fórmula do volume de uma esfera é:

V_0 = \frac{4}{3}\pi r^3

Substituindo os dados:

V_0 = \frac{4}{3} \times 3,14 \times (10,0)^3

V_0 = \frac{4}{3} \times 3,14 \times 1000 = 4186,67 \text{ cm}^3

Passo 2: Determinar o coeficiente de dilatação volumétrica

Para sólidos, relacionamos:

\beta = 3\alpha

Onde:

$\beta$ = coeficiente de dilatação volumétrica
$\alpha$ = coeficiente de dilatação linear

\beta = 3 \times 24 \times 10^{-6} = 72 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1}

Passo 3: Calcular a variação de temperatura

\Delta T = T_1 - T_0 = 100,00 - 0,00 = 100,00 \text{ °C}

Passo 4: Aplicar a fórmula de dilatação volumétrica

\Delta V = V_0 \cdot \beta \cdot \Delta T

Substituindo:

\Delta V = 4186,67 \times (72 \times 10^{-6}) \times 100

\Delta V = 4186,67 \times 0,0072 = 30,14 \text{ cm}^3

Análise dos Conceitos-Chave

Dilatação térmica: fenômeno onde materiais aumentam suas dimensões com o aumento da temperatura
Coeficiente de dilatação ( $\alpha$ ): característico de cada material; para alumínio é aproximadamente $24 \times 10^{-6}$ °C⁻¹
Relação entre coeficientes: $\beta = 3\alpha$ porque a dilatação ocorre em três dimensões (x, y, z)
Volume inicial: depende do cubo do raio, por isso pequenas variações no raio geram grandes variações no volume

Conclusão

A variação de volume da esfera de alumínio é de aproximadamente 30,1 cm³.

Este resultado mostra que mesmo um aumento de 100°C produz uma expansão mensurável no volume do metal, demonstrando a importância de considerar dilatação térmica em projetos de engenharia e construções.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta