Um corpo a 100°C é posto em uma sala onde a temperatura ambiente se mantém constante. Após 10 minutos a temperatura do corpo é de 90°C e após 20 minutos 82°C. Determine a temperatura da sala.

Resumo: A temperatura da sala é de $50^\circ C$, obtida através da resolução de um sistema exponencial baseado na Lei do Resfriamento de Newton.

Introdução ao Problema

Este exercício trata de um modelo clássico de resfriamento, onde a taxa de mudança da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente. Como a temperatura ambiente é constante, utilizamos a fórmula matemática conhecida como Lei do Resfriamento de Newton.

A relação é expressa por:
T(t) = T_{amb} + (T_0 - T_{amb})e^{-kt}

Onde T(t) é a temperatura no tempo t, T_{amb} é a temperatura do ambiente e T_0 é a temperatura inicial.

Análise Matemática

Para encontrar a temperatura da sala, precisamos isolar a incógnita utilizando os dados fornecidos no enunciado. Vamos organizar as informações e montar as equações necessárias:

• Dados Iniciais:
• Temperatura inicial (t=0): T_0 = 100^\circ C
• Temperatura aos 10 minutos (t=10): T(10) = 90^\circ C
• Temperatura aos 20 minutos (t=20): T(20) = 82^\circ C
• Incógnita: Temperatura da Sala (T_{amb})
• Montagem das Equações:
  Aplicando a fórmula nos tempos conhecidos:

1. Para t=10: $90 - T_{amb} = (100 - T_{amb}) \cdot e^{-10k}$
2. Para t=20: $82 - T_{amb} = (100 - T_{amb}) \cdot e^{-20k}$

Observamos que e^{-20k} = (e^{-10k})^2. Isolando o termo exponencial na primeira equação:
e^{-10k} = \frac{90 - T_{amb}}{100 - T_{amb}}

• Resolução do Sistema:
  Substituímos o valor encontrado na segunda equação para eliminar a constante k:
  82 - T_{amb} = (100 - T_{amb}) \cdot \left(\frac{90 - T_{amb}}{100 - T_{amb}}\right)^2

Simplificando a expressão, temos:
82 - T_{amb} = \frac{(90 - T_{amb})^2}{100 - T_{amb}}

Realizando a multiplicação cruzada e expandindo os termos:
(82 - T_{amb})(100 - T_{amb}) = (90 - T_{amb})^2
8200 - 182T_{amb} + T_{amb}^2 = 8100 - 180T_{amb} + T_{amb}^2

Cancelando T_{amb}^2 e agrupando os termos semelhantes:
8200 - 8100 = 182T_{amb} - 180T_{amb}
100 = 2T_{amb}
T_{amb} = 50

Conclusão

A temperatura constante da sala é de $50^\circ C$. O cálculo confirma que a diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente diminui geometricamente a cada intervalo de tempo igual, validando a aplicação da lei física.