Um objeto produzido com um metal X a 50 °C tem o mesmo volume que outro objeto produzido com um metal Y a 30 °C. Ambos os metais fundem em temperaturas altíssimas. Dado: O coeficiente de dilatação linear do metal X é 5 vezes maior que o coeficiente de dilatação linear do metal Y. Se for possível que eles tenham o mesmo volume estando à mesma temperatura, em qual temperatura isso ocorrerá?

Alternativa A

A questão envolve dilatação térmica volumétrica, onde precisamos encontrar uma temperatura de equilíbrio para que dois corpos com coeficientes de dilatação distintos mantenham volumes iguais.

Análise do Problema

Para resolver, utilizaremos a fórmula da dilatação volumétrica:

Onde:

• V_f é o volume final.
• V_i é o volume inicial.
• \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica.
• \Delta T é a variação de temperatura.

1. Relação entre os coeficientes
Sabemos que o coeficiente volumétrico (\beta) é três vezes o coeficiente linear (\alpha):
\beta = 3\alpha

O enunciado informa que \alpha_X = 5 \cdot \alpha_Y. Portanto, a relação para os coeficientes volumétricos será:
\beta_X = 3 \cdot \alpha_X = 3 \cdot (5 \cdot \alpha_Y) = 5 \cdot (3 \cdot \alpha_Y) = 5 \cdot \beta_Y

Assim, temos:
\beta_X = 5 \cdot \beta_Y

2. Condições Iniciais
No estado inicial, os objetos têm o mesmo volume (V_0), mas estão em temperaturas diferentes:

• Metal X: T_{i,X} = 50^\circ C
• Metal Y: T_{i,Y} = 30^\circ C
• Volume inicial comum: V_0

3. Equilíbrio de Volumes
Queremos encontrar a temperatura final T onde os volumes sejam novamente iguais (V_{f,X} = V_{f,Y}). Aplicando a fórmula de dilatação para ambos a partir de suas temperaturas iniciais:

Igualando as expressões (já que V_{f,X} = V_{f,Y} e V_0 \neq 0):

Subtraindo 1 de ambos os lados e substituindo \beta_X por $5\beta_Y$:

Dividindo por \beta_Y:

Resolvendo a equação:

Portanto, a temperatura na qual ambos os objetos terão o mesmo volume é 55 °C.