Um tanque metálico de um veículo está completamente cheio de etanol, um volume de 50 litros, a 15 °C. Ao meio-dia o conjunto, tanque e combustível, se encontra a uma temperatura de 35 °C, quando é percebido um transbordamento do líquido. Sabendo-se que o coeficiente de dilatação do etanol é de 11.10-4 °C-1 e que o coeficiente de dilatação linear do metal que constitui o tanque é de 2.10-4 °C-1, qual a quantidade de etanol que transbordou do tanque?

Question

Um tanque metálico de um veículo está completamente cheio de etanol, um volume de 50 litros, a 15 °C. Ao meio dia o conjunto, tanque e combustível, se encontra a uma temperatura de 35 °C, quando é percebido um transbordamento do líquido. Sabendo se que o coeficiente de dilatação do etanol é de 11.10 4 °C 1 e que o coeficiente de dilatação linear do metal que constitui o tanque é de 2.10 4 °C 1, qual a quantidade de etanol que transbordou do tanque?

Sapien IA · Accepted Answer

Análise do Problema de Dilatação Térmica Introdução Este problema envolve dilatação volumétrica , onde um líquido (etanol) e um recipiente (tanque metálico) são aquecidos simultaneamente. O transbordamento ocorre porque o líquido se dilata mais que o tanque. Desenvolvimento do Cálculo Dados do Problema | Grandeza | Valor | | | | | Volume inicial ($V 0$) | 50 L | | Temperatura inicial ($T 0$) | 15 °C | | Temperatura final ($T$) | 35 °C | | Variação de temperatura ($\Delta T$) | 20 °C | | Coeficiente etanol ($\beta {et}$) | $11 	imes 10^{ 4}$ °C⁻¹ | | Coeficiente linear metal ($\alpha {met}$) | $2 	imes 10^{ 4}$ °C⁻¹ | Passo 1: Calcular $\Delta T$ $$\Delta T = T T 0 = 35 15 = 20 	ext{ °C}$$ Passo 2: Converter coeficiente linear para volumétrico no tanque Para sólidos, o coeficiente de dilatação volumétrica é três vezes o coeficiente linear: $$\beta {tanque} = 3 	imes \alpha {metal} = 3 	imes 2 	imes 10^{ 4} = 6 	imes 10^{ 4} 	ext{ °C}^{ 1}$$ Passo 3: Calcular dilatação aparente (transbordamento) O volume transbordado é a diferença entre a dilatação do líquido e a dilatação do recipiente: $$\Delta V {transbordamento} = V 0 	imes \Delta T 	imes (\beta {etanol} \beta {tanque})$$ Substituindo os valores: $$\Delta V {transbordamento} = 50 	imes 20 	imes (11 	imes 10^{ 4} 6 	imes 10^{ 4})$$ $$\Delta V {transbordamento} = 1000 	imes 5 	imes 10^{ 4}$$ $$\Delta V {transbordamento} = 0,5 	ext{ litros}$$ Análise Por que usamos $\beta {tanque} = 3 	imes \alpha {metal}$? A dilatação volumétrica de sólidos isotrópicos ocorre em três dimensões, portanto o coeficiente volumétrico é aproximadamente triplo do coeficiente linear. Por que subtraímos as dilatações? O tanque também aumenta seu volume interno, então parte da expansão do etanol é "absorvida" pelo aumento do tanque. Apenas a diferença transborda. Conceito importante : A dilatação aparente do líquido é igual à dilatação real menos a dilatação do recipiente. Conclusão A quantidade de etanol que transbordou do tanque foi de 0,5 litros .

Grandeza	Valor
Volume inicial ( $V_0$ )	50 L
Temperatura inicial ( $T_0$ )	15 °C
Temperatura final ( $T$ )	35 °C
Variação de temperatura ( $\Delta T$ )	20 °C
Coeficiente etanol ( $\beta_{et}$ )	$11 \times 10^{-4}$ °C⁻¹
Coeficiente linear metal ( $\alpha_{met}$ )	$2 \times 10^{-4}$ °C⁻¹

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Introdução

Desenvolvimento do Cálculo

Dados do Problema

Passo 1: Calcular $\Delta T$

Passo 2: Converter coeficiente linear para volumétrico no tanque

Passo 3: Calcular dilatação aparente (transbordamento)

Análise

Conclusão

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