Alternativa D
Este problema envolve o estudo da dilatação térmica, especificamente a relação entre a dilatação superficial e a dilatação volumétrica de um mesmo corpo sólido. Para resolver, precisamos utilizar as fórmulas de variação de área e volume e a relação entre seus respectivos coeficientes de dilatação.
O material sofre uma mesma variação de temperatura (\Delta \theta) em ambos os casos. Isso nos permite comparar diretamente a razão entre as variações de área e volume, utilizando a propriedade fundamental dos coeficientes de dilatação.
Análise
Para encontrar a resposta correta, seguimos os seguintes passos lógicos:
- Dados fornecidos:
- Área inicial (S_0) = $10.000 \text{ cm}^2$
- Variação de área (\Delta S) = $4 \text{ cm}^2$
- Volume inicial (V_0) = $1.000.000 \text{ cm}^3$ (interpretado como $10^6$ baseado no parêntese "1 m³")
- Variação de temperatura (\Delta \theta) é igual para ambos ($45^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 20^\circ\text{C}$)
- Fórmulas de Dilatação:
- Variação de área: \Delta S = S_0 \cdot \beta \cdot \Delta \theta
- Variação de volume: \Delta V = V_0 \cdot \gamma \cdot \Delta \theta
- Relação entre Coeficientes:
- Para sólidos isotrópicos, o coeficiente de dilatação volumétrica (\gamma) é $1,5$ vezes o coeficiente de dilatação superficial (\beta):
\gamma = \frac{3}{2} \beta = 1,5 \cdot \beta - Cálculo da Variação de Volume:
Isolamos o termo \beta \cdot \Delta \theta na equação da área:
\beta \cdot \Delta \theta = \frac{\Delta S}{S_0}
Substituímos na equação do volume usando a relação \gamma = 1,5 \beta:
\Delta V = V_0 \cdot (1,5 \cdot \beta) \cdot \Delta \theta
\Delta V = 1,5 \cdot V_0 \cdot \left( \frac{\Delta S}{S_0} \right)
Inserindo os valores numéricos:
\Delta V = 1,5 \cdot 1.000.000 \cdot \left( \frac{4}{10.000} \right)
\Delta V = 1,5 \cdot 1.000.000 \cdot 0,0004
\Delta V = 1,5 \cdot 400
\Delta V = 600 \text{ cm}^3
Conclusão
A capacidade do reservatório aumenta em 600 cm³. Portanto, a alternativa correta é a d. Note que o valor $1.106 \text{ cm}^3$ no enunciado original é claramente uma representação incorreta ou erro de digitação para $10^6 \text{ cm}^3$, dado que o texto confirma ser equivalente a $1 \text{ m}^3$.