Uma esfera com 30 °C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 100 °C. Sendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 segundos, determine a temperatura da esfera após 30 segundos.

A temperatura da esfera após 30 segundos será de aproximadamente 96,5 °C.

O problema envolve transferência de calor descrita pela Lei de Resfriamento (ou Aquecimento) de Newton, onde a taxa de variação de temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio.

Análise dos Dados

Identificamos as variáveis principais fornecidas no enunciado:

• Temperatura inicial (T_0): 30 °C
• Temperatura do meio (T_{\infty}): 100 °C
• Constante de tempo (\tau): 10 segundos
• Tempo decorrido (t): 30 segundos

Cálculo Passo a Passo

A equação diferencial para este sistema é integrada na forma exponencial:

Substituindo os valores na fórmula:

1. Calculamos a razão do tempo pela constante:
   \frac{t}{\tau} = \frac{30}{10} = 3
2. Determinamos a diferença inicial de temperatura:
   T_0 - T_{\infty} = 30 - 100 = -70
3. Aplicamos a exponencial (e^{-3} \approx 0,0498):
   T(30) = 100 + (-70) \cdot 0,0498
   T(30) \approx 100 - 3,49
   T(30) \approx 96,51

Conclusão

Após três constantes de tempo ($3\tau$), o sistema atingiu cerca de 95% da variação total esperada, estabilizando-se muito próximo à temperatura do líquido. Portanto, o valor final é 96,5 °C.