Um automóvel está se movendo de acordo com a função da velocidade v(t) = 0,02t², com unidades no SI. A função que define a sua posição em função do tempo é a:
Resolução completa
Esta questão envolve Cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição em um movimento variado.
1. Identificação da Função de Velocidade
Embora o texto pequeno diga "$v(t) = 0,02$", a equação principal exibida na figura é claramente:
$$v(t) = 0,02t$$
A presença de termos com $t^2$ nas alternativas (A e B) confirma que a velocidade depende do tempo, caracterizando um Movimento Uniformemente Variado (MUV). Se a velocidade fosse constante ($0,02$), as respostas seriam lineares (como C ou D).
2. Relação Matemática entre Velocidade e Posição
Para obter a função posição $S(t)$ a partir da função velocidade $v(t)$, devemos realizar a integração da velocidade em relação ao tempo. A regra básica de integração para potências é:
$$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$$
Aplicando isso à nossa função:
$$S(t) = \int 0,02t \, dt$$
$$S(t) = 0,02 \cdot \frac{t^2}{2} + C$$
$$S(t) = 0,01t^2 + C$$
3. Interpretação das Alternativas
As alternativas apresentam expressões como $(t^2 - t0^2)$. Isso indica que a questão pede o cálculo do deslocamento escalar ($\Delta S$) entre um instante inicial $t0$ e um instante final $t$, ou considera a variação da posição.
Calculando a variação de posição:
$$\Delta S = S(t) - S(t_0)$$
$$\Delta S = (0,01t^2) - (0,01t_0^2)$$
Fatorando o $0,01$:
$$\Delta S = 0,01(t^2 - t_0^2)$$
Comparativo com as Opções:
| Opção | Expressão | Correspondência Física |
|---|---|---|
| A | $0,01 (t^2 - t_0^2)$ | Correta. Resultado da integral de $v=0,02t$. |
| B | $0,02 (t^2 - t_0^2)$ | Errada. O coeficiente deveria ser metade de $0,02$. |
| C | $0,01(t - t_0)$ | Errada. Seria para velocidade constante $v=0,01$. |
| D | $0,02(t - t_0)$ | Errada. Seria para velocidade constante $v=0,02$. |
| E | $0,02t^2/2$ | Equivalente a $0,01t^2$, mas a forma fatorada da opção A é mais precisa considerando o intervalo $t_0$. |
A função que define a posição (ou deslocamento) é obtida integrando a velocidade $0,02t$, resultando em $0,01t^2$. Considerando o intervalo de tempo entre $t0$ e $t$, obtemos $0,01(t^2 - t0^2)$.
Alternativa A
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