Um circuito composto por uma fonte de tensão e uma lâmpada foi montado. Um voltímetro e um amperímetro foram montados adequadamente no circuito para medir a queda de tensão (V) sobre a lâmpada incandescente e a corrente elétrica (I) que fluía no circuito. A tensão foi variada da fonte até o máximo de 30 volts, e medidos os valores de V e I. O modelo teórico que descreve o comportamento da lâmpada é dado por uma função do tipo y = α ⋅ xβ. Um gráfico linearizado foi construído conforme o modelo teórico e está apresentado abaixo. O ajuste foi feito e a equação da reta obtida está escrita no gráfico. Encontre os valores de α e β.

Resumo da Resposta

Os valores dos parâmetros são $\beta \approx 0,3506$ e $\alpha \approx 0,5402$. O expoente $\beta$ corresponde ao coeficiente angular da reta no gráfico linearizado, enquanto $\alpha$ é calculado a partir do coeficiente linear através da operação inversa do logaritmo.

Análise Detalhada

Para encontrar os valores de $\alpha$ e $\beta$, precisamos relacionar o modelo teórico proposto com a equação da reta apresentada no gráfico.

• Modelo Teórico Original:
  O enunciado define o comportamento da lâmpada pela função potência:
  $$y = \alpha \cdot x^\beta$$
  Onde $y$ representa a corrente elétrica ($I$) e $x$ representa a tensão ($V$), dado que o eixo vertical do gráfico é $\text{Log } I$.
• Linearização da Função:
  Para transformar essa relação não-linear em uma reta, aplicamos o logaritmo (base 10, conforme notação padrão "Log") em ambos os lados da equação:
  $$\log(y) = \log(\alpha \cdot x^\beta)$$
  Utilizando as propriedades de logaritmos ($\log(a \cdot b) = \log a + \log b$ e $\log(a^b) = b \cdot \log a$), temos:
  $$\log(y) = \log(\alpha) + \beta \cdot \log(x)$$
• Comparação com a Equação da Reta:
  A equação de uma reta é dada por $Y = mX + c$, onde $m$ é o coeficiente angular (inclinação) e $c$ é o coeficiente linear (intercepto).
  O gráfico fornece a seguinte equação ajustada:
  $$y' = 0,3506 \cdot x' - 0,2678$$

Fazendo a correspondência entre as variáveis linearizadas ($\log I$ e $\log V$) e a equação da reta:

• O termo que multiplica $x'$ (variável independente) é o expoente $\beta$.
• O termo constante é o logaritmo de $\alpha$.
• Determinação dos Parâmetros:

1. Valor de $\beta$:
   Corresponde diretamente ao coeficiente angular da reta.
   $$\beta = 0,3506$$
2. Valor de $\alpha$:
   Corresponde ao intercepto no eixo $y$, que é o valor de $\log(\alpha)$.
   $$\log(\alpha) = -0,2678$$
   Para encontrar $\alpha$, realizamos a operação inversa do logaritmo (antilogaritmo na base 10):
   $$\alpha = 10^{-0,2678}$$
   Realizando o cálculo:
   $$\alpha \approx 0,5402$$

Conclusão

Os valores solicitados para o modelo teórico da lâmpada são:

• $\beta = 0,3506$
• $\alpha \approx 0,5402$