Um circuito composto por uma fonte de tensão e uma lâmpada foi montado. Um voltímetro e um amperímetro foram montados adequadamente no circuito para medir a queda de tensão (V) sobre a lâmpada incandescente e a corrente elétrica (I) que fluía no circuito. A tensão foi variada da fonte até o máximo de 30 volts, e medidos os valores de V e I. O modelo teórico que descreve o comportamento da lâmpada é dado por uma função do tipo y = α ⋅ xβ. Um gráfico linearizado foi construído conforme o modelo teórico e está apresentado abaixo. O ajuste foi feito e a equação da reta obtida está escrita no gráfico. Encontre os valores de α e β.

Resumo da Resposta

Os valores dos parâmetros são \beta \approx 0,3506 e \alpha \approx 0,5402. O expoente \beta corresponde ao coeficiente angular da reta no gráfico linearizado, enquanto \alpha é calculado a partir do coeficiente linear através da operação inversa do logaritmo.

Análise Detalhada

Para encontrar os valores de \alpha e \beta, precisamos relacionar o modelo teórico proposto com a equação da reta apresentada no gráfico.

• Modelo Teórico Original:
  O enunciado define o comportamento da lâmpada pela função potência:
  y = \alpha \cdot x^\beta
  Onde y representa a corrente elétrica (I) e x representa a tensão (V), dado que o eixo vertical do gráfico é \text{Log } I.
• Linearização da Função:
  Para transformar essa relação não-linear em uma reta, aplicamos o logaritmo (base 10, conforme notação padrão "Log") em ambos os lados da equação:
  \log(y) = \log(\alpha \cdot x^\beta)
  Utilizando as propriedades de logaritmos (\log(a \cdot b) = \log a + \log b e \log(a^b) = b \cdot \log a), temos:
  \log(y) = \log(\alpha) + \beta \cdot \log(x)
• Comparação com a Equação da Reta:
  A equação de uma reta é dada por Y = mX + c, onde m é o coeficiente angular (inclinação) e c é o coeficiente linear (intercepto).
  O gráfico fornece a seguinte equação ajustada:
  y' = 0,3506 \cdot x' - 0,2678

Fazendo a correspondência entre as variáveis linearizadas (\log I e \log V) e a equação da reta:

• O termo que multiplica x' (variável independente) é o expoente \beta.
• O termo constante é o logaritmo de \alpha.
• Determinação dos Parâmetros:

1. Valor de \beta:
   Corresponde diretamente ao coeficiente angular da reta.
   \beta = 0,3506
2. Valor de \alpha:
   Corresponde ao intercepto no eixo y, que é o valor de \log(\alpha).
   \log(\alpha) = -0,2678
   Para encontrar \alpha, realizamos a operação inversa do logaritmo (antilogaritmo na base 10):
   \alpha = 10^{-0,2678}
   Realizando o cálculo:
   \alpha \approx 0,5402

Conclusão

Os valores solicitados para o modelo teórico da lâmpada são:

• $\beta = 0,3506$
• $\alpha \approx 0,5402$