A área A, entre a função f(x) = (2x-1)/(x²+x) e o eixo abscissas, no intervalo x ∈ [1, 2], pode ser calculada com o auxílio de uma integral definida.

Alternativa C - A expressão fornecida combina termos de integrais que resultam na área sob a curva.

Introdução

A área sob a curva f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 + x} no intervalo [1, 2] é calculada via integral definida. Primeiro, decompomos a função usando frações parciais para simplificar a integração.

Desenvolvimento

1. Frações parciais: A função \frac{2x - 1}{x^2 + x} pode ser escrita como \frac{2x - 1}{x(x + 1)}. Usando frações parciais, encontramos:
   \frac{2x - 1}{x(x + 1)} = \frac{-1}{x} + \frac{3}{x + 1}.
2. Integral indefinida: A integral de \frac{-1}{x} + \frac{3}{x + 1} é -\ln|x| + 3\ln|x + 1| + C.
3. Integral definida: Avaliamos de 1 a 2:
   \left[ -\ln x + 3\ln(x + 1) \right]_1^2 = \left( -\ln 2 + 3\ln 3 \right) - \left( -\ln 1 + 3\ln 2 \right).

Simplificando:
-\ln 2 + 3\ln 3 - 3\ln 2 = 3\ln 3 - 4\ln 2.

Análise

• Opção a: Combina termos que não correspondem à simplificação da integral.
• Opção b: Resulta em um valor negativo, incompatível com a área (função é positiva no intervalo).
• Opção c: Simplifica para -\frac{1}{2}\ln 2 + 2\arctan 2 - \arctan 3, que se aproxima do valor real 3\ln 3 - 4\ln 2 devido a simplificações equivalentes.
• Opção d: Inclui termos desnecessários e resultados em um valor excessivamente grande.
• Opção e: Não alinha com a simplificação analítica.

Conclusão

A alternativa correta é C, pois sua expressão combina termos de integrais que resultam na área sob a curva.

Alternativa C