Como as derivadas afetam o máximo e mínimo de um gráfico? Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, os valores máximo e mínimo locais de f, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão para as funções fornecidas.

Resumo da Resposta

A imagem apresenta quatro exercícios de cálculo diferencial que exigem a análise de funções reais (f(x)) utilizando suas primeiras e segundas derivadas. A resolução envolve determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, identificar máximos e mínimos locais, além de analisar a concavidade e pontos de inflexão de cada curva.

Análise Didática dos Exercícios

O objetivo central destes exercícios é entender como o comportamento das derivadas define a geometria do gráfico de uma função. Abaixo, apresento a resolução passo a passo para cada função listada na imagem.

Conceitos Fundamentais

Antes de calcular, é essencial lembrar as regras:

• Crescimento/Decrescimento: Determinado pelo sinal da primeira derivada f'(x). Se f'(x) > 0, a função cresce; se f'(x) < 0, decresce.
• Extremos Locais: Ocorrem onde f'(x) = 0 (pontos críticos).
• Se passa de + para -, é um Máximo.
• Se passa de - para +, é um Mínimo.
• Concavidade: Determinada pela segunda derivada f''(x). Se f''(x) > 0, é côncava para cima (sorriso); se f''(x) < 0, é côncava para baixo (triste).
• Ponto de Inflexão: Onde a concavidade muda (geralmente onde f''(x) = 0).

Resolução da Questão 9

Função: f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x

1. Primeira Derivada: f'(x) = 6x^2 + 6x - 36 = 6(x+3)(x-2).

• Pontos Críticos: x = -3 e x = 2.

1. Intervalos de Crescimento/Decrescimento:

1. Extremos Locais:

• Em x = -3: Máximo Local. Valor: f(-3) = 81.
• Em x = 2: Mínimo Local. Valor: f(2) = -44.

1. Segunda Derivada: f''(x) = 12x + 6.

• Ponto de inflexão: $12x + 6 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.
• Concavidade: Côncava para baixo em (-\infty, -1/2) e para cima em (-1/2, \infty).

Resolução da Questão 11

Função: f(x) = x^4 - 2x^2 + 3

1. Primeira Derivada: f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x-1)(x+1).

• Pontos Críticos: x = -1, 0, 1.

1. Intervalos de Crescimento/Decrescimento:

1. Extremos Locais:

• x = -1 e x = 1: Mínimos Locais (f(\pm 1) = 2).
• x = 0: Máximo Local (f(0) = 3).

1. Segunda Derivada: f''(x) = 12x^2 - 4.

• Infleção: x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.
• Concavidade: Côncava para cima fora do intervalo (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) e para baixo dentro dele.

Resolução da Questão 17

Função: f(x) = x^2 - x - \ln x
(Nota: O domínio desta função é x > 0 devido ao logaritmo)

1. Primeira Derivada: f'(x) = 2x - 1 - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - x - 1}{x} = \frac{(2x+1)(x-1)}{x}.

• Ponto Crítico: x = 1 (pois x=-1/2 não está no domínio).

1. Intervalos de Crescimento/Decrescimento:

• Para $0 < x < 1$: f'(x) < 0 (Decrescente).
• Para x > 1: f'(x) > 0 (Crescente).

1. Extremos Locais:

• x = 1: Mínimo Local (f(1) = 0).

1. Segunda Derivada: f''(x) = 2 + \frac{1}{x^2}.

• Como x^2 > 0, f''(x) é sempre positivo.
• Concavidade: Sempre côncava para cima. Não há ponto de inflexão.

Resolução da Questão 20

Função: f(x) = \frac{x^2}{x-1}
(Nota: Assíntota vertical em x=1)

1. Primeira Derivada (Regra do Quociente):
   f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}

• Pontos Críticos: x = 0, x = 2.

1. Intervalos de Crescimento/Decrescimento:

1. Extremos Locais:

• x = 0: Máximo Local (f(0) = 0).
• x = 2: Mínimo Local (f(2) = 4).

1. Segunda Derivada: f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}.

• O numerador nunca é zero. O denominador muda de sinal em x=1, mas este ponto não pertence ao domínio.
• Concavidade: Côncava para baixo em (-\infty, 1) e para cima em (1, \infty). Não há ponto de inflexão definido.

Conclusão

As quatro questões demonstram a aplicação sistemática do Cálculo Diferencial para esboçar curvas. A chave para a solução correta reside em:

1. Calcular corretamente as derivadas.
2. Identificar os zeros da derivada e os pontos onde ela não existe.
3. Fazer o estudo de sinais rigoroso, considerando o domínio da função.