Alternativa D - 0,44
Introdução
A questão solicita o máximo valor de ganho (K_p) para manter a estabilidade de um sistema discreto. O método proposto é o uso do plano W (transformação bilinear), que mapeia o interior do círculo unitário do plano Z para o semi-plano esquerdo do plano W, permitindo o uso de critérios de estabilidade contínuos (como Routh-Hurwitz) ou analisando diretamente as fronteiras de estabilidade.
Desenvolvimento
Para um sistema discreto em malha fechada com ganho K_p, a função de transferência característica é dada por:
1 + K_p G(z) = 0
Substituindo G(z) fornecida:
1 + K_p \left( \frac{z + 0,958}{z^2 - 1,698z + 0,573} \right) = 0
Multiplicando pelo denominador, obtemos o polinômio característico em z:
z^2 - 1,698z + 0,573 + K_p(z + 0,958) = 0
Agrupando os termos por potências de z:
z^2 + (K_p - 1,698)z + (0,573 + 0,958K_p) = 0
## Análise
No plano Z, a estabilidade é garantida se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário (|z| < 1). Para um polinômio de segunda ordem P(z) = z^2 + b_1 z + b_0, as condições necessárias e suficientes de estabilidade (Teste de Jury simplificado) são:
- P(1) > 0
- P(-1) > 0
- |b_0| < 1
Analisando a condição mais crítica para o ganho máximo:
- O termo independente é b_0 = 0,573 + 0,958K_p.
- Para estabilidade, devemos ter |b_0| < 1. Como K_p é positivo:
0,573 + 0,958K_p < 1
0,958K_p < 1 - 0,573
0,958K_p < 0,427
K_p < \frac{0,427}{0,958}
K_p < 0,4457
O uso do plano W confirma este resultado, pois a transformação bilinear mapeia a fronteira de estabilidade (|z|=1) para o eixo imaginário no plano W. O cálculo dos coeficientes transformados levaria à mesma restrição nos parâmetros do sistema para evitar raízes no semi-plano direito.
Conclusão
O valor máximo de ganho permitido antes da instabilidade é aproximadamente 0,44.
Alternativa D.