Calcule os seguintes limites:

Resolução de Limites em Cálculo

Esta questão apresenta 4 limites que devem ser resolvidos individualmente. Vou analisar cada um com passo a passo detalhado.

Análise da Questão

a) lim x→+∞ (x³ + 2x - 1)^(1/3) / (x² + x + 1)

Tipo: Indeterminação ∞/∞

Passo 1: Fatorar o termo de maior grau no numerador:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3(1 + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3})}}{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$$

Passo 2: Simplificar a raiz cúbica:
$$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3}}}{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$$

Passo 3: Cancelar potências de x:
$$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3}}}{x(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$$

Resultado: Como o denominador cresce mais rápido que o numerador:
$$\boxed{0}$$

b) lim x→+∞ (1 + 2/x)^x

Tipo: Forma indeterminada 1^∞

Conceito-chave: Este é um limite fundamental exponencial:

Aplicação: No nosso caso, a = 2

$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \boxed{e^2}$$

c) lim x→0+ x · e^sin(π/x)

Tipo: Produto com função oscilante

Análise do comportamento:

• Quando x → 0+, temos π/x → +∞
• A função seno oscila entre -1 e 1 indefinidamente
• Portanto: $e^{-1} \leq e^{\sin(\pi/x)} \leq e^1$

Teorema do Confronto (Sanduíche):
$$x \cdot e^{-1} \leq x \cdot e^{\sin(\pi/x)} \leq x \cdot e^1$$

Como ambos os extremos tendem a 0 quando x → 0+:

$$\boxed{0}$$

d) lim x→0 (2x - cos(x)) / sin(x)

Tipo: Indeterminação diferente (não é 0/0)

Verificação direta:

Observação importante: Não é uma indeterminação clássica! Temos -1/0, o que indica limite infinito.

Análise dos lados:

• x → 0⁺: sin(x) > 0 ⇒ limite = -∞
• x → 0⁻: sin(x) < 0 ⇒ limite = +∞

Como os limites laterais são diferentes:

$$\boxed{\text{O limite NÃO existe}}$$

Conclusão

Dicas para provas:

• Identifique primeiro o tipo de indeterminação antes de calcular
• Memorize os limites fundamentais (como o da base e)
• Use o Teorema do Confronto quando houver funções oscilantes